2023-2024学年河南省新乡市辉县市太行中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市辉县市太行中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 15B. 0.1C. 48D. 51
2.下列二次根式中，与 18不是同类二次根式的是( )
A. 12B. 50C. 18D. 54
3.在函数y= x+12x−1中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥−1B. x>−1且x≠12C. x≥−1且x≠12D. x≤−1且x≠12
4.下列计算正确的是( )
A. (−m3)2=−m6B. 2x2−x=2x
C. 18+ 2=4 2D. (a+b)2=a2+ab+b2
5.如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A. (8−4 3)cm2B. (4−2 3)cm2
C. (16−8 3)cm2D. (−12+8 3)cm2
6.关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )
A. m<4且m≠3B. m>4C. m≥4D. m≤4且m≠3
7.关于x的方程x(x+3)=3x−3根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
8.如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为( )
A. 30×18−30x−18x=480B. (30−x)(18−x)=480
C. 30x+18x=480D. (30−x)(18−x)+x2=480
9.某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
10.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的23时较美观，求所镶彩纸的宽．
若设：所镶彩纸的宽为x厘米．
下面是强强同学所列的3个方程，其中正确的个数有个．( )
①(18+2x)(12+2x)=18×12×53
②4x2+18x×2+12x×2=18×12×23
③(12+2x)x×2+18x×2=18×12×23
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个根为2的一元二次方程：______ ．
12.苯xx+y=13，则yx= ______ ．
13.如图，在一块长15m，宽为10m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为104m2，则小路宽为______m.
14.如图，l1//l2//l3，AB=2，BC=4，DB=32，则DE的长为______ ．
15.设a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，则a2+3a+b的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)3(x−1)2=12；
(2)x2+4x−2=0；
(3)2x(x+2)−1=0；
(4)3x(x−2)=x−2．
17.(本小题8分)
(1)计算：(12)−1+(3.14−π)0+|3− 12|；
(2)化简：(1x−2−1)÷x2−6x+92x−4．
18.(本小题8分)
已知：关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
(1)求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
19.(本小题8分)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0，b2−4ac≥0)的两个实数根分别为x1，x2．
(1)用一元二次方程的求根公式证明：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；
(2)设方程y2+13y− 17=0的两个实数根分别为y1，y2，求代数式1y1+1y2的值．
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动：
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2；
(2)△PBQ的面积会等于10cm2吗？会请求出此时的运动时间，若不会请说明理由．
21.(本小题8分)
某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？
(3)如果在(2)的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
22.(本小题8分)
2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
23.(本小题8分)
给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”
(1)填空：
当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为(72−x)，由题意得方程：x(72−x)=3，化简得：2x2−7x+6=0，
∵b2−4ac=49−48>0，∴x1= ______ ，x2= ______ ．
∴矩形A存在对半矩形B．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：x+y=72xy=3消去y化简后也得到：2x2−7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长．
(2)如果已知矩形A的边长分别为3和2.请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B．
(3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题.如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题：

①这个图象所研究的矩形A的面积为______ ；周长为______ ．
②对半矩形B的两边长为______ 和______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 15= 55，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、 0.1= 110= 1010，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、 48=4 3，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、 51是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解： 18=3 2；
A、 12= 22与3 2被开方数相同，故是同类二次根式；
B、 50=5 2与3 2被开方数相同，故是同类二次根式；
C、 18= 24与3 2被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 54=3 6与3 2被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：D．
先把 18及每个选项中的二次根式化成最简二次根式，再进行选择即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+1≥0且2x−1≠0，
解得：x≥−1且x≠12，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、(−m3)2=m6，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、2x2和x不是同类项，不能合并，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、 18+ 2=3 2+ 2=4 2，计算正确，故选项符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故选项不符合题意．
故选：C．
根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则以及完全平方公式和二次根式加减法的运算法则逐一分析计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则以及完全平方公式和二次根式加减法的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则和性质．
5.【答案】D
【解析】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为 16=4cm， 12=2 3cm，
∴AB=4cm，BC=(2 3+4)cm，
∴空白部分的面积=(2 3+4)×4−12−16，
=8 3+16−12−16，
=(−12+8 3)cm2．
故选：D．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
6.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(m−3)×1=−4m+16≥0，
∴m≤4，
又∵m−3≠0，
∴m≠3，
∴m≤4且m≠3．
故选：D．
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：整理方程得：x2+3=0，
Δ=b2−4ac=0−4×1×3=−12<0，
故方程没有实数根．
故选：C．
将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用判别式进行判断即可．
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．
根据题意可得：(30−x)(18−x)=480．
故选：B．
先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可．
本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2=31，即x2+x−30=0，解方程得，x1=5，x2=−6(舍去)，
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：B．
先是有1个主干，设长出枝干有x枝，每个枝干又长出枝干x枝，则第二次长出的数量是x2，由此即可求解．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵所镶彩纸的宽为x厘米，
∴照片和彩纸组成的矩形长为(18+2x)厘米，宽为(12+2x)厘米，
又∵彩纸面积为相片面积的23，
∴可列方程：(18+2x)(12+2x)=18×12×(1+23)，4x2+18x×2+12x×2=18×12×23，(12+2x)x×2+18x×2=18×12×23，
即(18+2x)(12+2x)=18×12×53，
∴所列的三个方程均正确．
故选：D．
由所镶彩纸的宽为x厘米，可得出照片和彩纸组成的矩形长为(18+2x)厘米，宽为(12+2x)厘米，结合彩纸面积为相片面积的23，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】x2−3x+2=0，答案不唯一
【解析】解：设方程的两根是1和2，
因而方程是(x−1)(x−2)=0
即x2−3x+2=0，本题答案不唯一．
可设方程的两根是1和2，进而写出方程(x−1)(x−2)=0，展开即可．本题答案不唯一．
已知方程的两根写出方程的方法是需要熟记的．
12.【答案】2
【解析】解：∵xx+y=13，
∴3x=x+y，即2x=y，
∴yx=2，
故答案为：2．
根据比例的性质可得2x=y，进而即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：设小路宽为x m，则种植花草的部分的面积与长为(15−x)m、宽为(10−x)m的矩形的面积相等，
根据题意得：(15−x)(10−x)=104，
整理得：x2−25x+46=0，
解得：x1=2，x2=23(不符合题意，舍去)，
∴小路宽为2m．
故答案为：2．
设小路宽为xm，则种植花草的部分的面积与长为(15−x)m、宽为(10−x)m的矩形的面积相等，根据花草的种植面积为104m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】4.5
【解析】解：∵l1//l2//l3,AB=2,BC=4,DB=32
∴ABBC=DBBE
即24=32BE
解得BE=3
∴DE=DB+BE=32+3=4.5
故答案为：4.5．
由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：∵a是方程x2+2x−20=0的实数根，
∴a2+2a−20=0，
∴a2+2a=20，
∵a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，
∴a+b=−2，
∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=20−2=18．
故答案为：18．
先利用一元二次方程解的定义得到a2+2a=20，再根据根与系数的关系得到a+b=−2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1·x2=ca.也考查了一元二次方程的根．
16.【答案】解：(1)3(x−1)2=12，
则(x−1)2=4，
∴x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1；
(2)x2+4x−2=0，
则x2+4x=2，
∴x2+4x+4=2+4，
∴(x+2)2=6，
∴x+2=± 6，
∴x1= 6−2，x2=− 6−2；
(3)2x(x+2)−1=0，
∴2x2+4x−1=0，
2x2+4x−1=0，
a=2，b=4，c=−1，
则Δ=b2−4ac=42−4×2×(−1)=24，
∴x=−4±2 64，
∴x1=−2+ 62，x2=−2− 62；
(4)3x(x−2)=x−2，
则3x(x−2)−(x−2)=0，
∴(x−2)(3x−1)=0，
∴x−2=0或3x−1=0，
∴x1=2，x2=13．
【解析】(1)利用直接开平方法解出方程；
(2)利用配方法解出方程；
(3)利用公式法解出方程；
(4)利用因式分解法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2+1+( 12−3)
=2+1+2 3−3
=2 3；
(2)原式=−x+3x−2÷(x−3)22(x−2)
=−(x−3)x−2⋅2(x−2)(x−3)2
=−2x−3．
【解析】(1)先根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值进行计算，再算加减即可；
(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(k+1)]2−4(2k−3)=k2−6k+13=(k−3)2+4，
而(k−3)2≥0，
∴Δ>0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
(2)解：∵方程的一个根是3，
∴32−3(k+1)+2k−3=0，
解得：k=3，
∴原方程为：x2−4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3．
即k的值为3，方程的另一个根是1．
【解析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ>0即可．Δ=[−(k+1)]2−4(2k−3)=k2−6k+13=(k−3)2+4，因为(k−3)2≥0，可以得到Δ>0；
(2)将x=3代入方程x2−(k+1)x+2k−3=0，求出k的值，进而得出方程的解．
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
19.【答案】(1)证明：∵a≠0，b2−4ac≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a，
即x1=−b+ b2−4ac2a，x2=−b− b2−4ac2a，
∴x1+x2=−b+ b2−4ac2a+−b− b2−4ac2a=−2b2a−ba，
x1⋅x2=−b+ b2−4ac2a⋅−b− b2−4ac2a=(−b)2−( b2−4ac)24a2=b2−(b2−4ac)4a2=ca；
(2)解：根据题意得y1+y2=−13，y1⋅y2=− 17，
∴1y1+1y2=y1+y2y1y2=−13− 17=13 1717．
【解析】(1)先写出一元二次方程的求根公式，再计算两个根的和与差即可；
(2)根据根与系数的关系得到y1+y2=−13，y1⋅y2=− 17，再通分得到1y1+1y2=y1+y2y1y2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的求根公式．
20.【答案】解：(1)设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：
BP=6−x，BQ=2x，
所以S△PBQ=12×(6−x)×2x=8，即x2−6x+8=0，
可得：x=2或4，
即经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
(2)设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，S△PBQ=12×(6−y)×2y=10，
即y2−6y+10=0，
因为△=b2−4ac=36−4×10=−4<0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．
【解析】(1)设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
(2)将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2−4ac来判断．
本题主要是根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
21.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(40,300)，(55,150)代入y=kx+b，得：40k+b=30055k+b=150，
解得：k=−10b=700，
∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+700．
(2)当y≥240时，−10x+700≥240，
解得：x≤46，
∵成本为30元/件，
∴30答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．
(3)依题意，得：(x−30)(−10x+700)=3750，
整理，得：x2−100x+2475=0，
解得：x1=45，x2=55．
∵30∴x=45．
答：该种工艺品销售单价是45元/件．
【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；
(2)由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；
(3)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合(2)的结论即可确定该种工艺品销售单价．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次不等式；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：(1)设平均每月的增长率是x，
500×(1+x)2=720(个)，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍)，
答：平均每月的增长率是20%．
(2)设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利(20−y)元，平均每天可售出20+y2×10=(20+5y)个，
依题意得：(20−y)(20+5y)=700，
整理得：y2−16y+60=0，
解得：y1=6，y2=10(不符合题意，舍去)，
答：每个“冰墩墩”应降价6元．
【解析】(1)设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量×(1+该工厂平均每月生产量的增长率)的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利(20−y)元，平均每天可售出(20+5y)个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)2；32；
(2)设所求矩形的一边是x，则另一边为(52−x)，
由题意得方程：x(52−x)=3，
化简得：2x2−5x+6=0，
∵b2−4ac=25−48<0，
∴原方程无解，
∴满足要求的矩形B不存在；
(3)①12；24；
②3+ 3；3− 3．
【解析】解：(1)2x2−7x+6=0，
∵b2−4ac=49−48=1>0，
∴x=7± 12×2=7±14，
∴x1=2，x2=32．
故答案为：2；32；
(2)见答案；
(3)①设直线的关系式为y=kx+b，把(0,6)，(6,0)代入得：
b=66k+b=0，
解得：k=−1b=6，
∴一次函数解析式为y=−x+6，
设反比例函数解析式为y=k′x，把(2,3)代入得：
3=k′2，
解得：k′=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
根据一次函数解析式可得：x+y=6，根据反比例函数解析式可得：xy=6，
∴矩形B的两边之和为6，面积为6，
∴矩形B的周长为12，
∴矩形A的周长为12×2=24，面积为6×2=12；
故答案为：12；24．
②把y=−x+6代入xy=6得：x(−x+6)=6，
解得：x1=3+ 3，x2=3− 3，
当x1=3+ 3时，y1=3− 3，
当x2=3− 3时，y2=3+ 3，
∴对半矩形B的两边长为3+ 3，3− 3．
故答案为：3+ 3；3− 3．
(1)用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
(2)设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可；
(3)①用待定系数法得一次函数解析式为y=−x+6，反比例函数解析式为y=6x，即可得矩形B的两边之和为6，面积为6，从而可得矩形A的面积和周长；
②把y=−x+6代入xy=6，解出x，y的值，可求出满足条件的矩形B的两边长．
此题主要考查反比例函数及一次函数的综合应用，涉及新定义和解一元二次方程，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式是解题关键．