2023-2024学年河南省漯河市临颍县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省漯河市临颍县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形标志中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个三角形的两条边分别为2和6，则这个三角形的第三边的长可以是( )
A. 2B. 4C. 5D. 8
3.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和( )
A. 都不变B. 都增加180°
C. 内角和增加180°，外角和减少180°D. 内角和增加180°，外角和不变
4.已知在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则∠B的度数不可能是( )
A. 20°B. 30°C. 50°D. 80°
5.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为( )
A. 7
B. 14
C. 17
D. 20
6.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1=26°，∠3=56°，则∠2的度数为( )
A. 30°
B. 56°
C. 26°
D. 82°
7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，ACB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
8.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①∠BOC=2∠A；②∠BOC=90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设点OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，∠AOB=30°，点D是它内部一点，OD=m.点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为( )
A. 0.5m
B. m
C. 1.5m
D. 2m
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于______°.
12.等腰三角形的一个角的度数为100°，则它的底角的度数是______ ．
13.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F坐标为(3−n,−m+1)，则(m−n)2023的值为______ ．
14.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加______条件时，就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是______ ．
16.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC=16cm，则MB的长为______ ．
17.如图1是两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠DAE，且点B，C，E在同一条直线上，BC=8cm，CE=4cm，连接DC.现有一只壁虎以2cm/s的速度从C处往D处爬，壁虎爬到D点所用的时间为______ s.
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
19.(本小题8分)
如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．

(1)用尺规作图法，在BC上求作一点P，使点P到AC，AB的距离相等；
(2)若BC=6，求点P到AB的距离．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)写出点A′、B′、C′．
22.(本小题10分)
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
23.(本小题11分)
如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G．
(1)求证：AE=AF．
(2)试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
24.(本小题12分)
[问题情境]如图1，AB=AC，∠BAC=90°，直线AE是经过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则△ADB≌△CEA．

(1)[类比训统]如图2，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，证明：BD=DE+CE．
(2)[问题创设]如图3，在△ABC中，AB=AC，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果∠BAC=∠ADB=∠AEC，那么(1)中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，BD，DE，CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
(3)[情境更换]如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
①若另一顶点K(a,−3a+10)落在第四象限，求a的值；
②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：设第三边的长为x，
则6−2故4故选：C．
三角形第三边的长度大于两边差，且小于两边和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．
本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解并掌握三角形的三边关系．
3.【答案】D
【解析】解：当多边形边数增加1时，内角和增加180°，外角和是个固定值为360°，
故选：D．
利用内角和定理可知，边数增加1，内角和增加180°，外角和都是360°，推理即可．
本题考查内角和、外角和定理，解题的关键是熟练掌握内角和定理，外角和定理．
4.【答案】B
【解析】解：当∠A为顶角，
∴∠B=180°−∠A2=180°−80°2=50°，
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B=180°−80°−80°=20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B=∠A=80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
故选：B．
分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故选：C．
首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠1=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠1+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2，
∵∠1=26°，∠3=56°，
∴∠2=56°−26°=30°，
故选：A．
先证明△ABD≌△ACE，得出∠2=∠ABD，再由外角得出∠3=∠1+∠2，从而得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，解决本题的关键是掌握判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，还有HL．
7.【答案】C
【解析】解：A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C.AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：在△ABD与△CBD中，
AD=CDAB=BCDB=DB，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
AD=CD∠ADB=∠CDBOD=OD，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故选：D．
先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．
9.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°−12∠A)=90°+12∠A，
∴①不正确，②正确；
过点O作ON⊥BC于点N，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴OM=ON，
又∵OD⊥AC，
∴OD=ON，
∴OM=ON=OD，
∴③正确，
∵S△AOE=12AE⋅OM，S△AOF=12AF⋅OD，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12(AE+AF)⋅OD，
设OD=m，AE+AF=n，
则S△AEF=12mn，
∴④正确．
∴正确的有②③④，
故选：C．
根据三角形的内角和与角平分线的性质可得∠BOC=90°+12∠A；根据角平分线的性质可知OM=ON=OD；将△AEF的面积分成△AOE的面积加上△AOF的面积即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE=ED，DF=FH，OG=OD=OH，
∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA=∠AOD，∠DOC=∠COH，
∴∠GOH=2∠AOC，
∵∠AOC=30°，
∴∠GOH=60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH=OD，
∵DO=m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GOH是等边三角形，即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】52
【解析】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°−38°=52°．
故答案为52．
根据直角三角形两锐角互余即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
12.【答案】40°
【解析】解：∵当等腰三角形的一个角的度数为100°时，
这个角一定是顶角，不可能是底角，
∴它的底角的度数是：(180−100)÷2=40°．
故答案为：40°
当等腰三角形的一个角的度数为100°时，这个角一定是顶角，不可能是底角，然后利用三角形内角和定理即可得出答案．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此类题目要用分类讨论的思想进行分析，不能遗漏．
13.【答案】1
【解析】解：∵E(2m,−n)，F(3−n,−m+1)关于y轴对称，
∴−n=−m+12m=n−3，
解得，m=−4n=−5，
∴(m−n)2023=(−4+5)2023=1，
故答案为：1．
利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
14.【答案】BC=DE
【解析】解：∵AD=CF，
∴AD+DC=FC+DC，
即AC=DF，
在△ABC和△FED中AB=FEAC=DFBC=DE，
∴△ABC≌△FED(SSS)，
故答案为：BC=DE．
由AD=CF利用等式的性质可得AC=DF，再添加BC=DE可利用SSS判定△ABC≌△FED．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15.【答案】6
【解析】解：∵BC=15，BD：DC=3：2
∴CD=6
∵∠C=90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=6．
故答案为：6．
首先由线段的比求得CD=6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离是．
此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．
16.【答案】8cm
【解析】解：∵点M是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，
∴MA=MB，MC=MB，
∵点M恰好在AC上，
∴MB=12AC，
∵AC=16cm，
∴MB=8cm，
故答案为：8cm．
根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，MC=MB，
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAD=AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴CD=BE=BC+CE=8+4=12(cm)，
∵壁虎以2cm/s的速度从C处往D处爬，
∴t=12÷2=6(s)．
故答案为：6．
先根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD，属于手拉手型全等，所以CD=BE=8+4=12，最后根据时间=路程÷速度即可解答．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得(n−2)·180°=3×360°−180°，
n−2=6−1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
19.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
【解析】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：SSS，SAS，AAS，HL等，做题时注意灵活运用．
已知∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE．
20.【答案】解：(1)如图所示，点P即为所求；

(2)如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，AP平分∠BAC，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAP=30°，
∴∠PAB=∠B=30°，
∴AP=BP，
在Rt△APC中，∠C=90°，∠CAP=30°，
∴AP=BP=2CP，
∴BC=CP+BP=3CP=6，
∴CP=2，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，∠C=90°，
∴CP=DP=2，
∴点P到AB的距离为2．

【解析】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在∠BAC的角平分线上，据此作出∠BAC的角平分线与BC交于点P即可；
(2)根据角平分线的性质只需要求出CP的长，先证明AP=PB，再利用含30度角的直角三角形的性质得到BP=2CP，据此可得答案．
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

(2)由图可知，A′(3,2)，B′(4,−3)，C′(1,−1)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
【解析】本题主要考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．
先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．
23.【答案】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF；
(2)解：AD⊥EF，
理由如下：∵DE=DF，AE=AF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF．
【解析】(1)根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
(2)根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理证明结论．
本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵BD⊥AE
∴∠BAC=∠ADB=90°
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
在△ABD和△CAE中，
∠AEC=∠BDA∠ABD=∠CADAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
(2)结论不成立，DE=CE+BD，理由如下：
∵∠ABD+∠ADB=∠BAE=∠BAC+∠CAE，∠BAC=∠ADB，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∠AEC=∠ADB∠ABD=∠EACAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
(3)①如图4，过点G作GN⊥y轴于N，过点K作KP⊥y轴于P，

设OH=b，
∴∠GNH=∠KPH=∠GHK=90°，
∴∠HGN+∠GHN=∠GHN+∠KHP=90°，
∴∠NGH=∠KHP，
又∵HG=HK，
∴△GHN≌△HKP(AAS)，
∴NG=HP，NH=PK，
∵顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点K(a,−3a+10)落在第四象限，
∴GN=NO，PK=a，OP=3a−10，
∴NH=PK=a，HP=3a−10+b=NG，
∴a+b=3a−10+b，
∴a=5．
②设K(x,y)，
由①得GN=NO，PK=x，OP=−y，
∴NH=PK=x，HP=−y+b=NG，
∴x+b=−y+b，
∴x+y=0，
∴横纵坐标互为相反数．
【解析】(1)由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，可得结论；
(2)由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，可得结论；
(3)由“AAS”可证△GHN≌△HKP，可得NG=HP，NH=PK，列出等式可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．