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    浙江省宁波市奉化区锦屏中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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    浙江省宁波市奉化区锦屏中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

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    这是一份浙江省宁波市奉化区锦屏中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)下列各组图形中,不是全等图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(3分)一个三角形的两边长分别是2与3,第三边的长不可能为( )
    A.1B.2C.3D.4
    3.(3分)在平面直角坐标系中,将点P(﹣1,﹣4)向右平移3个单位长度后得到的点所在的象限是( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    4.(3分)能说明命题“对于任何实数a,=a”是假命题的一个反例可以是( )
    A.a=2022B.a=0C.a=D.a=﹣2022
    5.(3分)若m<n,则下列各式正确的是( )
    A.﹣2m<﹣2nB.C.1﹣m>1﹣nD.m2<n2
    6.(3分)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为( )
    A.B.0.8C.3﹣D.
    7.(3分)已知关于x的不等式组的整数解共有4个,则a的取值范围是( )
    A.﹣3≤a<﹣2B.﹣3<a≤﹣2C.﹣3<a<﹣2D.a<﹣2
    8.(3分)在直角坐标系中,有A(1,1),B(5,3)两点,在x轴上有一动点C(n,0),当△ABC周长最小时,n的值是( )
    A.0B.1C.2D.﹣1
    9.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠DCB=90°,E、F分别是BD、AC的中点,AC=6,BD=10,则EF的长为( )
    A.3B.4C.5D.
    10.(3分)如图,在长方形ABCD中,AB=3,对角线AC=5,BE平分∠ABC交AD于点E,Q是线段BE上的点,连接CQ,过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P,当△PCQ为等腰三角形时,AP=( )
    A.4B.5C.6D.7
    二、填空题(每小题4分,共32分)
    11.(4分)如图,AB=DB,∠1=∠2,要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 .(只需写出一种情况)
    12.(4分)已知,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 .
    13.(4分)在△ABC中,∠A+∠B=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若b=3,c=4,则a= .
    14.(4分)已知点A(a﹣3,1﹣2a)在y轴上,那么a= .
    15.(4分)已知如图是关于x的不等式2x﹣a>﹣3的解集,则a的值为 .
    16.(4分)给出下列命题:①直角都相等;②若ab>0且a+b>0,则a>0,b>0;③一个角的补角大于这个角.其中原命题和逆命题都为真命题的有 .
    17.(4分)等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°,则这个三角形的底角为 .
    18.(4分)如图,长方形两边长AB=2,AD=1,两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动,则顶点D到原点O的距离最大值是 .
    三、解答题(共58分)
    19.(6分)解不等式组,并把解在数轴上表示.
    20.(8分)如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,﹣1),B(1,﹣2),C(3,﹣3).
    (1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
    (2)请写出B1坐标,并用恰当的方式表示线段BB1上任意一点的坐标.
    21.(8分)已知:如图,CD=BE,DG⊥BC于点G,EF⊥BC于点F,且DG=EF.
    (1)求证:△DGC≌△EFB;
    (2)连接BD,CE.求证:BD=CE.
    22.(10分)如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
    23.(12分)某社区为了更好地开展“垃圾分类,美丽宁波”活动,需购买A,B两种类型垃圾桶,用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个,且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同,请解答下列问题:
    (1)求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价.
    (2)若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个,其中A型垃圾桶至少29个,求有哪几种购买方案?
    24.(14分)在等边△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q,AQ、BP相交于点O.
    (1)若∠BOQ=60°,求证AP=CQ;
    (2)在(1)的条件下,当∠CBP=45°,BQ=2时,求△ABC的边长;
    (3)连结PQ,若AP=AC,AQ=BP,求的值.
    2023-2024学年浙江省宁波市奉化区锦屏中学八年级(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.(3分)下列各组图形中,不是全等图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解答】解:观察发现,B、C、D选项的两个图形都可以完全重合,
    ∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形,
    A选项中两个图形不可能完全重合,
    ∴它们不是全等形.
    故选:A.
    2.(3分)一个三角形的两边长分别是2与3,第三边的长不可能为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】A
    【解答】解:设第三边长x.
    根据三角形的三边关系,得1<x<5,
    第三边不可能为1,
    故选:A.
    3.(3分)在平面直角坐标系中,将点P(﹣1,﹣4)向右平移3个单位长度后得到的点所在的象限是( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】D
    【解答】解:将点P(﹣1,﹣4)向右平移3个单位长度后得到的点的坐标为(﹣1+3,﹣4),即(2,﹣4),位于第四象限,
    故选:D.
    4.(3分)能说明命题“对于任何实数a,=a”是假命题的一个反例可以是( )
    A.a=2022B.a=0C.a=D.a=﹣2022
    【答案】D
    【解答】解:∵a≥0时,=a,
    ∴当a=2022时,原命题成立,故A不符合题意,
    同理a=0时,原命题成立,故B不符合题意;
    a=时,原命题成立,故C不符合题意,
    而当a=﹣2022时,原命题不成立,故D符合题意;
    故选:D.
    5.(3分)若m<n,则下列各式正确的是( )
    A.﹣2m<﹣2nB.C.1﹣m>1﹣nD.m2<n2
    【答案】C
    【解答】解:A:∵m<n,
    ∴﹣2m>﹣2n,
    ∴不符合题意;
    B:∵m<n,
    ∴,
    ∴不符合题意;
    C:∵m<n,
    ∴﹣m>﹣n,
    ∴1﹣m>1﹣n,
    ∴符合题意;
    D:∵m<n,
    ∴m2≥n2或m2≤n2
    ∴不符合题意;
    故选:C.
    6.(3分)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为( )
    A.B.0.8C.3﹣D.
    【答案】C
    【解答】解:如图,连接AD,则AD=AB=3,
    由勾股定理可得,Rt△ADE中,DE==,
    又∵CE=3,
    ∴CD=3﹣,
    故选:C.
    7.(3分)已知关于x的不等式组的整数解共有4个,则a的取值范围是( )
    A.﹣3≤a<﹣2B.﹣3<a≤﹣2C.﹣3<a<﹣2D.a<﹣2
    【答案】B
    【解答】解:解不等式组得:a≤x<,
    ∵不等式组的整数解共有4个,
    ∴不等式组的整数解分别为:﹣2,﹣1,0,1,
    ∴﹣3<a≤﹣2,
    故选:B.
    8.(3分)在直角坐标系中,有A(1,1),B(5,3)两点,在x轴上有一动点C(n,0),当△ABC周长最小时,n的值是( )
    A.0B.1C.2D.﹣1
    【答案】C
    【解答】解:作点A关于x轴的对称点A'(1,﹣1),连接A'B交x轴于C,此时AB+AC+BC的值最小,
    设直线A′B的解析式为y=kx+b,
    把A′(1,﹣1),B(5,3)代入得

    解得,
    ∴直线A'B的函数解析式为y=x﹣2,
    当y=0时,x﹣2=0,解得x=2,
    ∴n=2,
    故选:C.
    9.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠DCB=90°,E、F分别是BD、AC的中点,AC=6,BD=10,则EF的长为( )
    A.3B.4C.5D.
    【答案】B
    【解答】解:连接AE,CE,
    ∵∠DAB=90°,∠DCB=90°,E是BD中点,
    ∴AE=BD,CE=BD,
    ∴AE=CE,
    ∵F是AC的中点,
    ∴EF⊥AC,
    ∵AC=6,BD=10,
    ∴AE=5,AF=3,
    ∴EF==4,
    故选:B.
    10.(3分)如图,在长方形ABCD中,AB=3,对角线AC=5,BE平分∠ABC交AD于点E,Q是线段BE上的点,连接CQ,过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P,当△PCQ为等腰三角形时,AP=( )
    A.4B.5C.6D.7
    【答案】B
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AD=BC,CD=AB=3,
    ∵∠BCD=∠QCP=90°,
    ∴∠QCH=∠PCD,
    ∵AB=3,AC=5,
    ∴BC=4,
    ∴AD=BC=4,
    过Q作QH⊥BC于H,
    ∴∠QHB=∠QHC=90°,
    ∵BE平分∠ABC交AD于点E,
    ∴∠QBH=45°,
    ∴△BQH是等腰直角三角形,
    ∴BH=QH,
    ∵CP⊥CQ,
    ∴∠QCP=90°,
    ∵△PCQ为等腰三角形,
    ∴CQ=CP,
    ∵∠CDP=∠CHQ=90°,∠QCH=∠PCD,
    ∴△CQH≌△CPD(AAS),
    ∴CH=CD=3,
    ∴BH=QH=1,
    ∴PD=QH=1,
    ∴AP=AD+PD=5,
    故选:B.
    二、填空题(每小题4分,共32分)
    11.(4分)如图,AB=DB,∠1=∠2,要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 ∠A=∠D(答案不唯一) .(只需写出一种情况)
    【答案】∠A=∠D(答案不唯一).
    【解答】解:添加的条件是∠A=∠D,理由如下:
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,
    即∠DBE=∠ABC,
    在△ABC和△DBE中,

    ∴△ABC≌△DBE(ASA),
    故答案为:∠A=∠D(答案不唯一).
    12.(4分)已知,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 15 .
    【答案】15.
    【解答】解:∵,
    ∴3﹣x=0,y﹣6=0,
    ∴x=3,y=6.
    ∵3、3、6不能组成三角形,
    ∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6,
    ∴等腰三角形周长为3+6+6=15.
    故答案为:15.
    13.(4分)在△ABC中,∠A+∠B=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若b=3,c=4,则a= .
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:∵∠A+∠B=90°,
    ∴∠C=180°﹣90°=90°,
    ∴a2=c2﹣b2,
    ∵b=3,c=4,
    ∴.
    故答案为:.
    14.(4分)已知点A(a﹣3,1﹣2a)在y轴上,那么a= 3 .
    【答案】3.
    【解答】解:∵点A(a﹣3,1﹣2a)在y轴上,
    ∴a﹣3=0,
    解得:a=3,
    故答案为:3.
    15.(4分)已知如图是关于x的不等式2x﹣a>﹣3的解集,则a的值为 1 .
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:解不等式2x﹣a>﹣3,
    解得x>,
    由数轴上的解集,
    可得x>﹣1,
    ∴=﹣1,
    解得a=1.
    16.(4分)给出下列命题:①直角都相等;②若ab>0且a+b>0,则a>0,b>0;③一个角的补角大于这个角.其中原命题和逆命题都为真命题的有 ② .
    【答案】②.
    【解答】解:①直角都相等是真命题,其逆命题是相等的角是直角,逆命题为假命题;
    ②若ab>0且a+b>0,则a>0,b>0是真命题,其逆命题是若a>0,b>0,则ab>0且a+b>0,逆命题为真命题;
    ③一个角的补角大于这个角是假命题,
    ∴原命题和逆命题都为真命题的有②,
    故答案为:②.
    17.(4分)等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°,则这个三角形的底角为 65°或25° .
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:有两种情况;
    (1)如图,当△ABC是锐角三角形时,BD⊥AC于D,
    则∠ADB=90°,
    已知∠ABD=40°,
    ∴∠A=90°﹣40°=50°,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠C=×(180°﹣50°)=65°;
    (2)如图,当△EFG是钝角三角形时,FH⊥EG于H,
    则∠FHE=90°,
    已知∠HFE=40°,
    ∴∠HEF=90°﹣40°=50°,
    ∴∠FEG=180°﹣50°=130°,
    ∵EF=EG,
    ∴∠EFG=∠G=×(180°﹣130°)=25°,
    故答案为65°或25°;
    18.(4分)如图,长方形两边长AB=2,AD=1,两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动,则顶点D到原点O的距离最大值是 1+ .
    【答案】1+.
    【解答】解:如图:取线段AB的中点E,连接OE,DE,OD,
    ∵AB=4,点E是AB的中点,∠AOB=90°,
    ∴AE=BE=1=OE,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD=BC=1,∠DAB=90°,
    ∴DE==,
    ∵OD≤OE+DE,
    ∴当点D,点E,点O共线时,OD的长度最大.
    ∴点D到点O的最大距离=OE+DE=1+,
    故答案为:1+.
    三、解答题(共58分)
    19.(6分)解不等式组,并把解在数轴上表示.
    【答案】﹣1<x≤2,解集在数轴上表示见解答.
    【解答】解:,
    解不等式①得:x>﹣1,
    解不等式②得:x≤2,
    ∴原不等式组的解集为:﹣1<x≤2,
    ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:
    20.(8分)如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,﹣1),B(1,﹣2),C(3,﹣3).
    (1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
    (2)请写出B1坐标,并用恰当的方式表示线段BB1上任意一点的坐标.
    【答案】(1)作图见解析部分.
    (2)B1坐标(1,2),线段BB1上任意一点P的坐标为(1,n)(﹣2≤n≤2).
    【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
    (2)B1坐标(1,2),线段BB1上任意一点P的坐标为(1,n)(﹣2≤n≤2).
    21.(8分)已知:如图,CD=BE,DG⊥BC于点G,EF⊥BC于点F,且DG=EF.
    (1)求证:△DGC≌△EFB;
    (2)连接BD,CE.求证:BD=CE.
    【答案】见试题解答内容
    【解答】(1)证明:∵DG⊥BC,EF⊥BG
    ∴∠DGC=∠EFB=90°.
    在Rt△DGC和Rt△EFB中,
    ∴Rt△DGC≌Rt△EFB(HL);
    (2)∵Rt△DGC≌Rt△EFB,
    ∴∠BCD=∠CBE,
    ∵BC=CB,CD=BE,
    ∴△BDC≌△CEB(SAS),
    ∴BD=CE.
    22.(10分)如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:连接AC,
    ∵∠ADC=90°,AD=4,CD=3,
    ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25,
    又∵AC>0,
    ∴AC=5,
    又∵BC=12,AB=13,
    ∴AC2+BC2=52+122=169,
    又∵AB2=169,
    ∴AC2+BC2=AB2,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴S四边形ABCD=S△ABC﹣S△ADC=30﹣6=24m2.
    23.(12分)某社区为了更好地开展“垃圾分类,美丽宁波”活动,需购买A,B两种类型垃圾桶,用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个,且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同,请解答下列问题:
    (1)求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价.
    (2)若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个,其中A型垃圾桶至少29个,求有哪几种购买方案?
    【答案】(1)A型垃圾桶的单价为80元,B型垃圾桶的单价为60元;
    (2)该社区共有2种购买方案,
    方案1:购进A型垃圾桶29个,B型垃圾桶21个;
    方案2:购进A型垃圾桶30个,B型垃圾桶20个.
    【解答】解:(1)设A型垃圾桶的单价为x元,B型垃圾桶的单价为y元,
    依题意得:,
    解得:.
    答:A型垃圾桶的单价为80元,B型垃圾桶的单价为60元.
    (2)设购进A型垃圾桶m个,则购进B型垃圾桶(50﹣m)个,
    依题意得:,
    解得:29≤m≤30.
    又∵m为正整数,
    ∴m可以取29,30,
    ∴该社区共有2种购买方案,
    方案1:购进A型垃圾桶29个,B型垃圾桶21个;
    方案2:购进A型垃圾桶30个,B型垃圾桶20个.
    24.(14分)在等边△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q,AQ、BP相交于点O.
    (1)若∠BOQ=60°,求证AP=CQ;
    (2)在(1)的条件下,当∠CBP=45°,BQ=2时,求△ABC的边长;
    (3)连结PQ,若AP=AC,AQ=BP,求的值.
    【答案】(1)见解析;(2)1+;(3)或.
    【解答】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠BAC=∠C=60°,
    ∵∠BOQ=60°,AB=AC,
    ∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠OAP=60°,
    ∴∠ABP=∠CAQ,
    在△ABP与△CAQ中,

    ∴△ABP≌△CAQ(ASA),
    ∴AP=CQ;
    (2)解:由(1)知,∠ABP=∠CAQ,
    ∴∠BAQ=∠CBP=45°,
    ∴AH=HQ,
    作QH⊥AB于H,
    ∵∠ABQ=60°,∠BQH=30°,
    ∴BH=BQ=1,HQ=,
    ∴AB=BH+AH=1+,
    ∴△ABC的边长为1+;
    (3)解:如图,当CQ=AP时,
    ∵∠C=∠BAP,AC=AB,
    ∴△QCA≌△PAB(SAS),
    ∴AQ=BP,
    此时CQ:BQ=1:2,
    ∴S△PCQ=x,则S△BPQ=2x,S△BCP=3x,
    ∴S△ABP=,
    ∴S△ABC=3x=,
    ∴的值为;
    由等边三角形的对称性知,当BQ=AC,时,仍然有AQ=BP,
    同理可得的值为,
    综上所述:的值为或.
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