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数学八年级上册13.1.1 轴对称课时作业
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这是一份数学八年级上册13.1.1 轴对称课时作业，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在以下的标志中，是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
3．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6B．9C．3D．8
6．如图， ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAE，EF⊥AD于F，以下结论：①∠DEF＝30°；②AD＝AC；③ AFE≌ AEC；④DE＝CE.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（ ）
A．13厘米B．17厘米
C．13厘米或17厘米D．以上结论均不对
8．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（ ）
A．2B．5C．2或2.5D．无法计算
9．已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是( )
A．a2B．a2 C．a2D．a2
10．已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
二、填空题
11．如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为 ．
12．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，，若，则 ．
13．如图， 是等边 底边上的中线， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 长为 ．
14．如图，已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD=2若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为 ；
三、解答题
15．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点△A1B1C1的坐标．
17．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由．
18．如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.求证:AC=BE.
四、综合题
19．如图，在等边三角形 中， ，点 是 边上的一点，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）点 满足什么条件时，点 是线段 的三等分点？并计算此时 的面积.
20．如图， 和 都是等边三角形，点 是 的边 上的一点，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）求 、 所夹锐角的度数，并写出推理过程．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．
（1）求证：△DFE是等腰三角形；
（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数.
（2）若CE=12，求BC的长.
23．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝ （请直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．再利用定义逐一判断即可得到答案．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ×70°=35°，
∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．
故选C．
【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．
3．【答案】A
【解析】【解答】解；由轴对称图形可知，A是轴对称图形，B、C、D都不是。
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的概念，逐个判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
5．【答案】A
【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．
【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：①：∵△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°
∴∠BAC=90°；
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，∠BAE=60°；
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠DAE=30°；
∵EF⊥AD，
∴∠DEF=∠DAE=30°，故①正确；
②：∵△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°
∴∠BAC=90°；
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，∠BAE=∠C=60°；
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠DAE=30°；
∴∠ADC=60°，
∴∠BAE=∠C=∠ADC=60°，即△ADC为等边三角形，
∴AD=AC=DC，故②正确；
③：由②知△ADC为等边三角形，且AE⊥DC，
∴△AED≌△AEC，而EF⊥AD
显然△AFE≌△AEC错误，故③错误；
④：由②知△ADC为等边三角形，且AE⊥DC，
∴DE=EC.故④正确；
综上，正确的结论有3个：①②④.
故答案为：C
【分析】①由题意求得∠BAE＝60°，在利用角平分线的性质得到∠DAE＝∠DAB＝30°，再根据三角形外角的性质可求得∠ADE＝60°，然后由直角三角形两锐角互余可求解；
②由①的结论∠ADC＝∠C＝60°可求解；
③由题意用角角边可证△AED≌∠AED；
④根据全等三角形的性质可求解．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：当3厘米是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7厘米是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17（厘米）．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的三边关系求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图
∵AB＝2，AD＝7，
∴BD＝BC+CD＝5，
∵BC作为腰的等腰三角形，
∴BC＝AB或BC＝CD，
∴BC＝2或2.5．
故答案为：C．
【分析】先利用线段的和差可得BD＝BC+CD＝5，再根据等腰三角形的性质可得BC＝AB或BC＝CD，即可得到答案。
9．【答案】D
【解析】【分析】根据三角形面积公式S=absinC解答．
【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴S=absin60°=
故选D．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形一定是等边三角形，
故选B．
【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状．
11．【答案】80°．
【解析】【解答】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，它的顶角为180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】根据等角对等边对性质和三角形内角和定理可算出答案。
12．【答案】100
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴BP=AP=CP，
∴∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB-（∠ABP+∠ACP）=∠ABC+∠ACB-（∠BAP+∠CAP）=130°-50°=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°.
故答案为：100.
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=130°，再根据线段垂直平分线的性质得出BP=AP=CP，根据等腰三角形的性质得出∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，从而求出∠PBC+∠PCB=80°，利用∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），即可得出答案.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：连结CF，
∵EF是 的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵ 是等边 底边上的中线，点F在AD上，
∴FA平分∠BAC，
∴∠FAC= ∠BAC= ，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCF=60°-∠ACF=30°=∠ACF，
∴FC是交ACB的平分线，
∵FD⊥BC，FE⊥AC，
∴FD=FE，
在Rt△AFE中，∠FAE=30°，
∴AF=2FE=2FD，
∴AD=3FD=9，FD=3，
故答案为：3．
【分析】EF是 的垂直平分线，可得∠FAC=∠FCA，由 是等边 底边上的中线，点F在AD上，可得FA平分∠BAC，可求∠FCA=∠FAC=30°，再求∠BCF=60°-∠ACF=30°=∠ACF，得到FC是交ACB的平分线，由角平分线的性质可得FD=FE，在Rt△AFE中，∠FAE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴∠DAC=30°
∴PE= AP
当BP⊥AC时， AP+BP=PE+BP的值最小，
此时，EP=PD
而PE= AP
∴AP= ．
故答案为： ．
【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE= AP，当BP⊥AC时， AP+BP=PE+BP的值最小，根据等边三角形的性质即可求得AP的长．
15．【答案】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD
【解析】【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
16．【答案】（1）解：S△ABC= ×5×3= （或7.5）（平方单位）
（2）解：如图．
（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）.
【解析】【分析】（1）根据点的坐标得出AB的长，得出点C到AB的距离，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）（3）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，再依次连接，然后写出各点坐标即可.
17．【答案】解：△AFC 是等腰三角形.理由如下：
由已知可证△BAD≌△BCE，
则 BA=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA，
可得∠FAC=∠FCA，
∴ △AFC 是等腰三角形
【解析】【分析】△AFC 是等腰三角形.理由如下：由题意用角角边可证△BAD≌△BCE，根据全等三角形的性质得：BA=BC，由等边对等角得∠BAC=∠BCA，由角的构成可得∠FAC=∠FCA，然后根据等腰三角形的判定可求解.
18．【答案】证明:∵△ABD和△DCE都是等边三角形,∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE.∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE,即∠ADC=∠BDE,∴△ADC≌△BDE.∴AC=BE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE，根据等式的性质得出∠ADC=∠BDE,从而利用SAS判断出△ADC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出AC=BE 。
19．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的外角，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
（2）解： 是 的中点（或 ）.
过点 作 ，交 于点
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
当点 是 的中点时，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和求出 ，根据三角形外角的性质求出 ，得到 ，即可证明.
（ 2 ）过点 作 ，交 于点 ,当点 是 的中点时， ,求出高，即可求出 的面积.
20．【答案】（1）证明：∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴
（2）解：延长 交 于点 ，
∵ ，在 和 中，
，
∴ ．
由（ ）中 ≌ 可知， ，
∴ ．
即 ， 所夹锐角的度数为
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC ， EC=DC ， ∠ACB=∠ECD=60° ，然后利用SAS判断出△BCE ≌ △ACD，根据全等三角形的对应边相等得出AD = BE；
（2）延长 AD 交 BE 于点 F ，根据三角形的内角和得出∠ADC+∠DAC+∠DCA=∠BDF+∠DBF+∠DFB=180°，根据对顶角大小及全等三角形的对应角相等得出∠DCA=∠DFB=60° 从而得出答案。
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，
在△FBD与△DCE中
BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE
∴△FBD≌△DCE．
∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形
（2）解：∵AB=AC，∠A=56°，
∴∠B=∠C= (180°−56°)＝62°．
∴∠EDF=∠B=62°．
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得出 ∠B=∠C，然后利用边角边证明△FBD≌△DCE．由全等三角形的对应边相等即可得出答案。（2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠B=62°，由（1）中的全等三角形的对应角相等可得∠EDC=∠BFD,再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠EDF=∠B=62°。
22．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°
（2）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
∴BC=EC=12
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得 CE=AE，利用等边对等角即可求出∠ECD=∠A=36°。（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BEC=72°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠B=72° ，由等角对等边可得 BC=EC=12。
23．【答案】（1）证明：如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k＋6k＝5，
∴k＝ ，
∴BC＝6k＝ ；
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，
同法可得10k﹣6k＝5，
解得k＝ ，
∴BC＝6k＝ ，
综上所述，BC的值为 或 ．
（3）解：如图3−1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝ ；
如图3−2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，
此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为 或6．
（4）5
【解析】【解答】解：（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5.
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意可得AD＝DB，然后根据等腰三角形的性质进行证明；
（2）当AB＜AD时，BC＝BD，设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD=5可得k的值，进而可得BC；当AB＞AD时，BC＝BD，同理求解即可；
（3）当△ADC≌△BED时，BD=AC=BC，由（2）可知BC的值；当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，求出k的值，进而可得BC；
（4）当CA′∥AB时，由平行线的性质可得∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知∠A′CD＝∠ACD，则∠ACD=∠ADC，推出AC＝AD＝5，据此解答.
一、单选题
1．在以下的标志中，是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
3．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6B．9C．3D．8
6．如图， ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAE，EF⊥AD于F，以下结论：①∠DEF＝30°；②AD＝AC；③ AFE≌ AEC；④DE＝CE.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（ ）
A．13厘米B．17厘米
C．13厘米或17厘米D．以上结论均不对
8．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（ ）
A．2B．5C．2或2.5D．无法计算
9．已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是( )
A．a2B．a2 C．a2D．a2
10．已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
二、填空题
11．如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为 ．
12．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，，若，则 ．
13．如图， 是等边 底边上的中线， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 长为 ．
14．如图，已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD=2若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为 ；
三、解答题
15．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点△A1B1C1的坐标．
17．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由．
18．如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.求证:AC=BE.
四、综合题
19．如图，在等边三角形 中， ，点 是 边上的一点，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）点 满足什么条件时，点 是线段 的三等分点？并计算此时 的面积.
20．如图， 和 都是等边三角形，点 是 的边 上的一点，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）求 、 所夹锐角的度数，并写出推理过程．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．
（1）求证：△DFE是等腰三角形；
（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．
22．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数.
（2）若CE=12，求BC的长.
23．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝ （请直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．再利用定义逐一判断即可得到答案．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ×70°=35°，
∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．
故选C．
【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．
3．【答案】A
【解析】【解答】解；由轴对称图形可知，A是轴对称图形，B、C、D都不是。
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的概念，逐个判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
5．【答案】A
【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．
【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：①：∵△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°
∴∠BAC=90°；
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，∠BAE=60°；
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠DAE=30°；
∵EF⊥AD，
∴∠DEF=∠DAE=30°，故①正确；
②：∵△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°
∴∠BAC=90°；
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，∠BAE=∠C=60°；
∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠DAE=30°；
∴∠ADC=60°，
∴∠BAE=∠C=∠ADC=60°，即△ADC为等边三角形，
∴AD=AC=DC，故②正确；
③：由②知△ADC为等边三角形，且AE⊥DC，
∴△AED≌△AEC，而EF⊥AD
显然△AFE≌△AEC错误，故③错误；
④：由②知△ADC为等边三角形，且AE⊥DC，
∴DE=EC.故④正确；
综上，正确的结论有3个：①②④.
故答案为：C
【分析】①由题意求得∠BAE＝60°，在利用角平分线的性质得到∠DAE＝∠DAB＝30°，再根据三角形外角的性质可求得∠ADE＝60°，然后由直角三角形两锐角互余可求解；
②由①的结论∠ADC＝∠C＝60°可求解；
③由题意用角角边可证△AED≌∠AED；
④根据全等三角形的性质可求解．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：当3厘米是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7厘米是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17（厘米）．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的三边关系求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图
∵AB＝2，AD＝7，
∴BD＝BC+CD＝5，
∵BC作为腰的等腰三角形，
∴BC＝AB或BC＝CD，
∴BC＝2或2.5．
故答案为：C．
【分析】先利用线段的和差可得BD＝BC+CD＝5，再根据等腰三角形的性质可得BC＝AB或BC＝CD，即可得到答案。
9．【答案】D
【解析】【分析】根据三角形面积公式S=absinC解答．
【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴S=absin60°=
故选D．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形一定是等边三角形，
故选B．
【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状．
11．【答案】80°．
【解析】【解答】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，它的顶角为180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】根据等角对等边对性质和三角形内角和定理可算出答案。
12．【答案】100
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴BP=AP=CP，
∴∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB-（∠ABP+∠ACP）=∠ABC+∠ACB-（∠BAP+∠CAP）=130°-50°=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°.
故答案为：100.
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=130°，再根据线段垂直平分线的性质得出BP=AP=CP，根据等腰三角形的性质得出∠ABP=∠BAP，∠ACP=∠CAP，从而求出∠PBC+∠PCB=80°，利用∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），即可得出答案.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：连结CF，
∵EF是 的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵ 是等边 底边上的中线，点F在AD上，
∴FA平分∠BAC，
∴∠FAC= ∠BAC= ，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCF=60°-∠ACF=30°=∠ACF，
∴FC是交ACB的平分线，
∵FD⊥BC，FE⊥AC，
∴FD=FE，
在Rt△AFE中，∠FAE=30°，
∴AF=2FE=2FD，
∴AD=3FD=9，FD=3，
故答案为：3．
【分析】EF是 的垂直平分线，可得∠FAC=∠FCA，由 是等边 底边上的中线，点F在AD上，可得FA平分∠BAC，可求∠FCA=∠FAC=30°，再求∠BCF=60°-∠ACF=30°=∠ACF，得到FC是交ACB的平分线，由角平分线的性质可得FD=FE，在Rt△AFE中，∠FAE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴∠DAC=30°
∴PE= AP
当BP⊥AC时， AP+BP=PE+BP的值最小，
此时，EP=PD
而PE= AP
∴AP= ．
故答案为： ．
【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE= AP，当BP⊥AC时， AP+BP=PE+BP的值最小，根据等边三角形的性质即可求得AP的长．
15．【答案】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD
【解析】【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
16．【答案】（1）解：S△ABC= ×5×3= （或7.5）（平方单位）
（2）解：如图．
（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）.
【解析】【分析】（1）根据点的坐标得出AB的长，得出点C到AB的距离，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）（3）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，再依次连接，然后写出各点坐标即可.
17．【答案】解：△AFC 是等腰三角形.理由如下：
由已知可证△BAD≌△BCE，
则 BA=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA，
可得∠FAC=∠FCA，
∴ △AFC 是等腰三角形
【解析】【分析】△AFC 是等腰三角形.理由如下：由题意用角角边可证△BAD≌△BCE，根据全等三角形的性质得：BA=BC，由等边对等角得∠BAC=∠BCA，由角的构成可得∠FAC=∠FCA，然后根据等腰三角形的判定可求解.
18．【答案】证明:∵△ABD和△DCE都是等边三角形,∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE.∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE,即∠ADC=∠BDE,∴△ADC≌△BDE.∴AC=BE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE，根据等式的性质得出∠ADC=∠BDE,从而利用SAS判断出△ADC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得出AC=BE 。
19．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的外角，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
（2）解： 是 的中点（或 ）.
过点 作 ，交 于点
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
当点 是 的中点时，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和求出 ，根据三角形外角的性质求出 ，得到 ，即可证明.
（ 2 ）过点 作 ，交 于点 ,当点 是 的中点时， ,求出高，即可求出 的面积.
20．【答案】（1）证明：∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴
（2）解：延长 交 于点 ，
∵ ，在 和 中，
，
∴ ．
由（ ）中 ≌ 可知， ，
∴ ．
即 ， 所夹锐角的度数为
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC ， EC=DC ， ∠ACB=∠ECD=60° ，然后利用SAS判断出△BCE ≌ △ACD，根据全等三角形的对应边相等得出AD = BE；
（2）延长 AD 交 BE 于点 F ，根据三角形的内角和得出∠ADC+∠DAC+∠DCA=∠BDF+∠DBF+∠DFB=180°，根据对顶角大小及全等三角形的对应角相等得出∠DCA=∠DFB=60° 从而得出答案。
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，
在△FBD与△DCE中
BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE
∴△FBD≌△DCE．
∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形
（2）解：∵AB=AC，∠A=56°，
∴∠B=∠C= (180°−56°)＝62°．
∴∠EDF=∠B=62°．
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得出 ∠B=∠C，然后利用边角边证明△FBD≌△DCE．由全等三角形的对应边相等即可得出答案。（2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠B=62°，由（1）中的全等三角形的对应角相等可得∠EDC=∠BFD,再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠EDF=∠B=62°。
22．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°
（2）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
∴BC=EC=12
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得 CE=AE，利用等边对等角即可求出∠ECD=∠A=36°。（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BEC=72°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠B=72° ，由等角对等边可得 BC=EC=12。
23．【答案】（1）证明：如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k＋6k＝5，
∴k＝ ，
∴BC＝6k＝ ；
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，
同法可得10k﹣6k＝5，
解得k＝ ，
∴BC＝6k＝ ，
综上所述，BC的值为 或 ．
（3）解：如图3−1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝ ；
如图3−2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，
此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为 或6．
（4）5
【解析】【解答】解：（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5.
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意可得AD＝DB，然后根据等腰三角形的性质进行证明；
（2）当AB＜AD时，BC＝BD，设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD=5可得k的值，进而可得BC；当AB＞AD时，BC＝BD，同理求解即可；
（3）当△ADC≌△BED时，BD=AC=BC，由（2）可知BC的值；当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，求出k的值，进而可得BC；
（4）当CA′∥AB时，由平行线的性质可得∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知∠A′CD＝∠ACD，则∠ACD=∠ADC，推出AC＝AD＝5，据此解答.
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