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初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，下列三角形中全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．已知且的面积为则边上的高等于（ ）
A．13B．3C．4D．6
3．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）.
A．∠M=∠NB．AM=CNC．AB=CDD．AM∥CN
4．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
5．如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识，画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．AAS
6．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．如图的四个三角形中，与全等的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使≌，则不能添加的一组条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若，则点P到BC的距离是（ ）
A．10B．8C．5D．2
10．如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，已知AE∥BF，∠E=∠F，要使△ADE≌△BCF，可添加的条件是 .
12．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 BC 边的中线 AD 的取值范围为 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝10，且BD∶DC＝3∶2，则点D到边AB的距离是 ．
14．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分 ， ，若 的度数为70°，则 的度数为 ．
三、解答题
15．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
16．如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．
求证：
（1）；
（2）．
17．已知：如图，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE．求证：AD⊥AE．
18．若将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连结，就能构成一个平面图形．图1是一个四边形的木架，AB=AD=2cm，BC=5cm．
（1）如图2，若固定三根木条AB，BC，AD不动，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
（2）在扭动这个木架的过程中，四根木条始终构成一个四边形，当测得A，C之间的距离为6cm时，若CD的长度也是整数，那么CD的长应为多少？
四、综合题
19．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）求∠BDC度数．
20．如图，在 中， 是边 上一点， ，作 交 的延长线于点 ．
（1）证明： ．
（2）若 ， ， ，求 ．
21．如图， 和 都是等边三角形，并且 .
求证：
（1） ；
（2）求 的度数.
22．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
23．
（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等.
②③，③④，①④均不符合题意，
故答案为：A.
【分析】观察各选项图形中已知的边长和角度，用“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴的面积为
∴的面积为
∵
∴边上的高=，
故答案为：D．
【分析】全等的三角形面积也相等，可得的面积=的面积=再利用三角形的面积公式即可求解.
3．【答案】B
【解析】【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【解答】A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故答案为：C．
【分析】根据题干结合公共边BC即可利用“SSS”证明三角形全等。
5．【答案】A
【解析】【解答】根据题意，三角形的两个角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出一个完全一样的三角形．
故答案为：A．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
6．【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】①全等三角形的对应边相等，正确；
②面积相等的两个三角形全等，错误；
③周长相等的两个三角形全等，错误；
④全等的两个三角形的面积相等，正确；
综上所述，正确的是①④．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=50°，
A选项中，已知两边和其中一边的对角对应相等，即SSA，不能判定与△ABC全等；
B选项中，已知两边及其夹角对应相等，即SAS，能判定与△ABC全等；
C选项中，两角的夹边应该是c时两个三角形才全等，所以不能判定与△ABC全等；
D选项中，两角的夹边应该是b时两个三角形才全等，所以不能判定与△ABC全等，
故答案为：B.
【分析】利用内角和定理求出∠C的度数，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
8．【答案】C
【解析】【解答】解： A、， ，可证 ≌ （SAS）
B、 ， ，可证≡(SSS）
C、 ， ，不可证≡
D、 ， ，可证≡（AAS）
故答案为：C
【分析】根据三角形全等得判定定理AAS、SSS、SAS、ASA进行判断。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD⊥BA，
∴∠BAP=90°，
∵AB∥CD，
∴∠PDC+∠BAP=180°，
∴∠PDC=90°，
如图，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，AP⊥BA，
∴PE=PA，
同理PE=PD，
∴PA=PE=PD=AD=5，
∴点P到BC的距离是5.
故答案为：C.
【分析】首先由平行线的性质可得∠PDC=90°，过点P作PE⊥BC于点E，进而由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PE=PD=AD=5.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
可添加条件BC=EF，
理由：∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，添加条件BC=EF，则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
11．【答案】AE=BF（此题答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，
又∵∠E=∠F，AE=BF，
∴△ADE≌△BCF（AAS）.
故答案为：AE=BF（任意对应边即可）.
【分析】利用平行线的性质可得∠A=∠B，现有∠E=∠F，∠A=∠B，要使△ADE≌△BCF，只需添加一边对应边相等即可（答案不唯一）.
12．【答案】1＜AD＜4
【解析】【解答】如图延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.
在三角形ADC与三角形BDE中
AD=DEBD=DC∠ADC=∠EDB
∴ (SAS)
∴BE=AC
在三角形AEB中，有 ，
即 ，
∴
【分析】把AD延长到DE使DE=AD，构造三角形ABE，根据三角形三边直接的关键建立不等式组求范围.
13．【答案】4
【解析】【解答】解：∵BC=10，BD：DC=3：2
∴CD=4，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴D到边AB的距离=CD=4．
故答案为：4．
【分析】根据题意首先由线段的比求得CD=4，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离．
14．【答案】70°
【解析】【解答】解：∵DC为∠ECB的平分线
∴∠ECD=∠DCB=70°
∵FG∥CD
∴∠DCF=∠GFB=70°
【分析】根据角平分线的性质，计算得到∠DCF的度数，继而由两直线平行，同位角相等，即可得到∠GFB
15．【答案】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ACB与△ADB中， ，∴△ACB≌△ADB，∴AC=AD．
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠CAB=∠DAB，然后利用AAS判断出△ACB≌△ADB，根据全等三角形对应边相等得出答案。
16．【答案】（1）证明：是直角三角形，，
由旋转的性质，得．
．．
又，．
在与中，，
．
（2）证明：由（1），得．
【解析】【分析】根据旋转的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，利用等角的余角相等得∠BAC=∠DAF， 然后根据”AAS"可判断△ABC△DAE；
(2)由(1)△АBC △DAF，得到BC=AF，再由AF=CF+AC，即可得到BC=CF+DF。
17．【答案】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠EAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠BAC，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
即AD⊥AE
【解析】【分析】只要证明△ABD≌△ACE（SSS），推出∠EAC=∠DAB，推出∠DAE=∠BAC，由AB⊥AC，推出∠BAC=90°，即可证明∠DAE=90°．
18．【答案】（1）解：∠B与∠D相等.
理由：连结AC，如图.
在△ACD和△ACB中，
∵AC=AC，AD=ABDC=BC，
(SSS)，
；
（2）解：，
，
.
∵CD的长度也是整数，
∴CD的长应为5cm或6cm或7cm.
【解析】【分析】（1）∠B与∠D相等，理由如下：如图，连接AC，可用“SSS”判断出△ACD≌△ACB，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠D；
（2）根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”在△ACD中可得4＜CD＜8，进而结合CD的长度是整数可得答案.
19．【答案】（1）证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE，
在△ADE与△CDE中：
DA=DC，
AE=CE，
DE=DE
∴△ADE≌△CDE（SSS）；
（2）解：∵△ADE≌△CDE．
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC，AE=CE，根据全等三角形的性质可得△ADE≌△CDE（SSS）；
（2）利用三角形外角性质可得出∠BDC度数．
20．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ．
在 与 中， ∠A=∠ACF∠ADF=∠FAE=CE ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由 得出 ，由平行线的性质得出 ， ，则可证明 ，根据全等三角形的性质结论可证；（2）由 ， ，可知 ，则利用 可求出AD的长度，根据 可知 则答案可求．
21．【答案】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 ，然后利用SAS证明△ACE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出 ，再通过角之间的转化，利用四边形内角和定理求出 即可解决问题．
22．【答案】（1）证明：∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°，
∵∠ACD+∠ACB=∠DCB，∠ECD+∠ACD=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
AC=BC∠ECA=∠DCBEC=DC ，
∴△ECA≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ECA≌△DCB，
∴∠EAC=∠DBC=60°，
又∵∠ACB=∠DBC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=60°，
∴AE∥BC．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA=∠DCB，AC=BC，EC=DC，即可证明△ECA≌△DCB；（2）根据△ECA≌△DCB可得∠EAC=60°，根据内错角相等，平行线平行即可解题．
23．【答案】（1）解：DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∠ADB=∠CEA∠DAB=∠ECAAB=CA
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）解：BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）解：（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∠BAD=∠ACE∠1=∠2BA=AC
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△DAB≌△ECA，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案；
（2）利用“AAS”证明△BAD≌△ACE，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案；
（3）利用“AAS”证明△DAB≌△ECA，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案。
一、单选题
1．如图，下列三角形中全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．已知且的面积为则边上的高等于（ ）
A．13B．3C．4D．6
3．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）.
A．∠M=∠NB．AM=CNC．AB=CDD．AM∥CN
4．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
5．如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识，画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．AAS
6．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．如图的四个三角形中，与全等的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使≌，则不能添加的一组条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若，则点P到BC的距离是（ ）
A．10B．8C．5D．2
10．如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，已知AE∥BF，∠E=∠F，要使△ADE≌△BCF，可添加的条件是 .
12．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 BC 边的中线 AD 的取值范围为 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝10，且BD∶DC＝3∶2，则点D到边AB的距离是 ．
14．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分 ， ，若 的度数为70°，则 的度数为 ．
三、解答题
15．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
16．如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．
求证：
（1）；
（2）．
17．已知：如图，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE．求证：AD⊥AE．
18．若将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连结，就能构成一个平面图形．图1是一个四边形的木架，AB=AD=2cm，BC=5cm．
（1）如图2，若固定三根木条AB，BC，AD不动，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
（2）在扭动这个木架的过程中，四根木条始终构成一个四边形，当测得A，C之间的距离为6cm时，若CD的长度也是整数，那么CD的长应为多少？
四、综合题
19．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）求∠BDC度数．
20．如图，在 中， 是边 上一点， ，作 交 的延长线于点 ．
（1）证明： ．
（2）若 ， ， ，求 ．
21．如图， 和 都是等边三角形，并且 .
求证：
（1） ；
（2）求 的度数.
22．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
23．
（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等.
②③，③④，①④均不符合题意，
故答案为：A.
【分析】观察各选项图形中已知的边长和角度，用“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴的面积为
∴的面积为
∵
∴边上的高=，
故答案为：D．
【分析】全等的三角形面积也相等，可得的面积=的面积=再利用三角形的面积公式即可求解.
3．【答案】B
【解析】【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【解答】A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故答案为：C．
【分析】根据题干结合公共边BC即可利用“SSS”证明三角形全等。
5．【答案】A
【解析】【解答】根据题意，三角形的两个角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出一个完全一样的三角形．
故答案为：A．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
6．【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】①全等三角形的对应边相等，正确；
②面积相等的两个三角形全等，错误；
③周长相等的两个三角形全等，错误；
④全等的两个三角形的面积相等，正确；
综上所述，正确的是①④．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=50°，
A选项中，已知两边和其中一边的对角对应相等，即SSA，不能判定与△ABC全等；
B选项中，已知两边及其夹角对应相等，即SAS，能判定与△ABC全等；
C选项中，两角的夹边应该是c时两个三角形才全等，所以不能判定与△ABC全等；
D选项中，两角的夹边应该是b时两个三角形才全等，所以不能判定与△ABC全等，
故答案为：B.
【分析】利用内角和定理求出∠C的度数，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
8．【答案】C
【解析】【解答】解： A、， ，可证 ≌ （SAS）
B、 ， ，可证≡(SSS）
C、 ， ，不可证≡
D、 ， ，可证≡（AAS）
故答案为：C
【分析】根据三角形全等得判定定理AAS、SSS、SAS、ASA进行判断。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD⊥BA，
∴∠BAP=90°，
∵AB∥CD，
∴∠PDC+∠BAP=180°，
∴∠PDC=90°，
如图，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，AP⊥BA，
∴PE=PA，
同理PE=PD，
∴PA=PE=PD=AD=5，
∴点P到BC的距离是5.
故答案为：C.
【分析】首先由平行线的性质可得∠PDC=90°，过点P作PE⊥BC于点E，进而由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PE=PD=AD=5.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
可添加条件BC=EF，
理由：∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，添加条件BC=EF，则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
11．【答案】AE=BF（此题答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，
又∵∠E=∠F，AE=BF，
∴△ADE≌△BCF（AAS）.
故答案为：AE=BF（任意对应边即可）.
【分析】利用平行线的性质可得∠A=∠B，现有∠E=∠F，∠A=∠B，要使△ADE≌△BCF，只需添加一边对应边相等即可（答案不唯一）.
12．【答案】1＜AD＜4
【解析】【解答】如图延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.
在三角形ADC与三角形BDE中
AD=DEBD=DC∠ADC=∠EDB
∴ (SAS)
∴BE=AC
在三角形AEB中，有 ，
即 ，
∴
【分析】把AD延长到DE使DE=AD，构造三角形ABE，根据三角形三边直接的关键建立不等式组求范围.
13．【答案】4
【解析】【解答】解：∵BC=10，BD：DC=3：2
∴CD=4，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴D到边AB的距离=CD=4．
故答案为：4．
【分析】根据题意首先由线段的比求得CD=4，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离．
14．【答案】70°
【解析】【解答】解：∵DC为∠ECB的平分线
∴∠ECD=∠DCB=70°
∵FG∥CD
∴∠DCF=∠GFB=70°
【分析】根据角平分线的性质，计算得到∠DCF的度数，继而由两直线平行，同位角相等，即可得到∠GFB
15．【答案】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ACB与△ADB中， ，∴△ACB≌△ADB，∴AC=AD．
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠CAB=∠DAB，然后利用AAS判断出△ACB≌△ADB，根据全等三角形对应边相等得出答案。
16．【答案】（1）证明：是直角三角形，，
由旋转的性质，得．
．．
又，．
在与中，，
．
（2）证明：由（1），得．
【解析】【分析】根据旋转的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，利用等角的余角相等得∠BAC=∠DAF， 然后根据”AAS"可判断△ABC△DAE；
(2)由(1)△АBC △DAF，得到BC=AF，再由AF=CF+AC，即可得到BC=CF+DF。
17．【答案】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠EAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠BAC，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
即AD⊥AE
【解析】【分析】只要证明△ABD≌△ACE（SSS），推出∠EAC=∠DAB，推出∠DAE=∠BAC，由AB⊥AC，推出∠BAC=90°，即可证明∠DAE=90°．
18．【答案】（1）解：∠B与∠D相等.
理由：连结AC，如图.
在△ACD和△ACB中，
∵AC=AC，AD=ABDC=BC，
(SSS)，
；
（2）解：，
，
.
∵CD的长度也是整数，
∴CD的长应为5cm或6cm或7cm.
【解析】【分析】（1）∠B与∠D相等，理由如下：如图，连接AC，可用“SSS”判断出△ACD≌△ACB，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠D；
（2）根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”在△ACD中可得4＜CD＜8，进而结合CD的长度是整数可得答案.
19．【答案】（1）证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE，
在△ADE与△CDE中：
DA=DC，
AE=CE，
DE=DE
∴△ADE≌△CDE（SSS）；
（2）解：∵△ADE≌△CDE．
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC，AE=CE，根据全等三角形的性质可得△ADE≌△CDE（SSS）；
（2）利用三角形外角性质可得出∠BDC度数．
20．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ．
在 与 中， ∠A=∠ACF∠ADF=∠FAE=CE ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由 得出 ，由平行线的性质得出 ， ，则可证明 ，根据全等三角形的性质结论可证；（2）由 ， ，可知 ，则利用 可求出AD的长度，根据 可知 则答案可求．
21．【答案】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 ，然后利用SAS证明△ACE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出 ，再通过角之间的转化，利用四边形内角和定理求出 即可解决问题．
22．【答案】（1）证明：∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°，
∵∠ACD+∠ACB=∠DCB，∠ECD+∠ACD=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
AC=BC∠ECA=∠DCBEC=DC ，
∴△ECA≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ECA≌△DCB，
∴∠EAC=∠DBC=60°，
又∵∠ACB=∠DBC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=60°，
∴AE∥BC．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA=∠DCB，AC=BC，EC=DC，即可证明△ECA≌△DCB；（2）根据△ECA≌△DCB可得∠EAC=60°，根据内错角相等，平行线平行即可解题．
23．【答案】（1）解：DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∠ADB=∠CEA∠DAB=∠ECAAB=CA
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）解：BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）解：（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∠BAD=∠ACE∠1=∠2BA=AC
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△DAB≌△ECA，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案；
（2）利用“AAS”证明△BAD≌△ACE，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案；
（3）利用“AAS”证明△DAB≌△ECA，可得AE＝BD，AD＝CE，再利用线段的和差及等量代换可得答案。
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