适用于新教材2023版高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算教师用书新人教A版必修第二册

6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算1.向量求和的法则(1)三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量　　　叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=　　　　. (2)平行四边形法则:已知两个不共线向量a,b,作=a,=b,以,为邻边作▱ABCD,则对角线上的向量　　　=a+b. 2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的实质是什么?它们有哪些区别?3.一般地,我们有|a+b|　　　　|a|+|b|, 当且仅当a,b　　　　　时等号成立. 4.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=　　　　. 一、单选题1.向量(+)+(+)+化简后等于 (　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= (　　)A.　　　B.C. D.3.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示 (　　)A.向东北方向航行2 kmB.向北偏东30°方向航行2 kmC.向北偏东60°方向航行2 kmD.向东北方向航行(1+)km4.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.菱形 B.矩形C.正方形 D.不确定二、多选题5.在▱ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式中成立的是 (　　)A.a+b=c B.a+d=bC.b+d=a D.=6.对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是 (　　)A.++B.++C.++D.++三、填空题7.(教材改编题)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):(1)+=　　　　; (2)+=　　　　; (3)++=　　　　. 8.已知非零向量a,b,|a|=8,|b|=5,则|a+b|的最大值为　　　　. 四、解答题9.如图,已知向量a,b,c,d.求作a+b+c+d.10.如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.求证:(1)+=+;(2)++=0.一、选择题1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是 (　　)A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的边AB上C.P在AB边所在的直线上D.P在△ABC的外部2.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 (　　)A.a∥b,且a与b方向相同B.a,b是共线向量且方向相反C.a=bD.a,b无论什么关系均可二、填空题3.当非零向量a,b满足　　　　时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角. 4.①如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|=　　　　. ②如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且+=,则∠ABC=　　　　. 三、解答题5.(教材改编题)已知船在静水中的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算必备知识·落实1.(1)　　(2)2.实质:三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.区别:①三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.3.≤　方向相同4.(2)a+(b+c)知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　原式=(+)+(++)=+0=.2.C　设a=+,利用平行四边形法则作出向量+,再平移即发现a=.3.B　=a表示“向东航行1 km”,=b表示“向北航行 km”,根据三角形法则,所以=a+b,因为tan A=,所以A=60°,且||==2(km),所以a+b表示向北偏东30°方向航行2 km.4.B　依题意,在平行四边形ABCD中,|+|=|+|,则平行四边形ABCD的两条对角线相等.故四边形ABCD为矩形.5.ABD　由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故=也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,b+d=a不成立.6.AB　在A中,++=+=;在B中,++=+=;在C中,++=+=;在D中,++=+.7.【解析】由已知可得四边形DFCB为平行四边形.(1)易知=.由三角形法则得+=+=.答案:(2)易知=,所以+=+=.答案:(3)++=++=.答案:8.【解析】|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|的最大值为13.答案:139.【解析】在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.10.【证明】(1)由向量加法的三角形法则,因为+=,+=,所以+=+.(2)由向量加法的平行四边形法则,因为=+,=+,=+,所以++=+++++=(+)+(+)+(+)=0+0+0=0.【素养提升组】1.D　+=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.2.A　根据三角形法则可知,若非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|,则a∥b,且a与b方向相同.3.【解析】当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.答案:|a|=|b|4.【解析】①如图所示,设菱形对角线交点为O.+=+=.因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.又因为AB=2,所以OB=1.在Rt△AOB中,||==,所以|+|=||=2||=2.答案:2②因为+=,所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形,又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.答案:120°5.【解析】作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10 m/min,||=|v船|=20 m/min,所以cos α===,所以α=60°,从而船与水流方向成120°的角.故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.6.【解析】因为+=+=0,所以=,=,所以四边形ABCD是平行四边形.又||=||=1,所以四边形ABCD为菱形.又cos∠DAB=,0°