适用于新教材2023版高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例教师用书新人教A版必修第二册

6.4.1　平面几何中的向量方法6.4.2　向量在物理中的应用举例【基础巩固组】一、单选题1.若=3a,=-5a,且,则四边形ABCD是 (　　)A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.直角梯形2.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·为 (　　)A.1 B.C.-1 D.-3.已知D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足=+,则的值为 (　　)A.1 B. C. D.24.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为 (　　)(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2,≈1.732)A.63 B.69 C.75 D.81二、多选题5.已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是 (　　)A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点6.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是 (　　)A.·=-1B.+=0C.=D.在方向上的投影向量为三、填空题7.(教材改编题)力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对质点P做的功是__________. 8.(教材改编题)一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝与水速夹角为________的方向行驶. 四、解答题9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,求ED的长.10.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.【素养提升组】一、选择题1.已知点A,B,C,则下列结论正确的是 (　　)A.A,B,C三点共线B.⊥C.连接A,B,C构成锐角三角形D.连接A,B,C构成钝角三角形2.已知平面向量a,b的夹角为,且=,=2.在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则AD的长等于 (　　)A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题3.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是________.(写出所有正确答案的序号) ①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小;③船的浮力不断变小;④船的浮力保持不变.4.已知平行四边形ABCD,AB=4,AD=,∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若·≥·恒成立,则=________. 三、解答题5.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.6.如图,在▱OACB中,BD=BC,OD与BA相交于点E.求证:BE=BA.6.4　平面向量的应用6.4.1　平面几何中的向量方法6.4.2　向量在物理中的应用举例知能素养·进阶【基础巩固组】1.C　因为=3a,=-5a,所以∥,||≠||,因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.2.A　由题意知,O为BC的中点,且∠ABC=60°,||=2,||=1,所以·=1×2×=1.3.A　因为=+,所以PA必为以PB,PC为邻边的平行四边形的对角线.因为D为边BC的中点,所以D为PA的中点,所以=1.4.B　由题意知,|F1|=|F2|=400 N,夹角θ=60°,所以G+F1+F2=0,即G=-(F1+F2);所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos 60°+4002=3×4002;|G|=400(N),则该学生的体重(单位:kg)约为40=40×1.732≈69(kg).5.ABC　由+++=0知,+=-(+).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知+=0,O是EF的中点.同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点.所以O是EF,MN的交点.6.BCD　由题意知E为AB中点,则CE⊥AB,以E为原点,,分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:所以,E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,),D(,),设O(0,y),y∈(0,),故=(1,y),=(-,y-),因为∥,所以y-=-y,解得y=,即O是CE中点,+=0,所以选项B正确;===,所以选项C正确;因为CE⊥AB,·=0,所以选项A错误;=(,),=(1,),在方向上的投影向量为==,所以选项D正确.7.【解析】由题意得,W=F·s=(-1,-2)·(3,4)=-11.答案:-118.【解析】如图所示,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直,又==1,==2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.答案:120°9.【解析】以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(3,),D(3,0),=(3,),设=λ,则E的坐标为,故=.因为BE⊥AC,所以·=0,即9λ+3λ-3=0,解得λ=,所以E,故=,||=,即ED=.10.【证明】如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设A,C,则D,=.设=λ,则=+=+=.又因为=,⊥,所以·=0,所以-2λ+2=0,解得λ=,所以=.所以=-=.又因为=,所以cos∠ADB==,cos∠FDC==.又因为∠ADB,∠FDC∈,所以∠ADB=∠FDC.【素养提升组】1.D　由点A,B,C,可得=,=,则·=-4<0,所以C是钝角.2.A　因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×=4,则||=2,所以AD=2.3.【解析】设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ,则cos θ=,所以=.因为θ增大,所以cosθ减小,所以增大.因为sin θ增大,所以船的浮力减小.答案:①③4.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,则cos∠BAD=,则sin∠BAD==,即yD=2,又cos∠BAD==,即xD=1,所以D,可知A,B,C,设P,1≤m≤5,所以·=·=m2-4m+4=,当m=2时,·取得最小值为0,此时P,若·≥·恒成立,则P0,所以=1.答案:15.【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).又=(4,4),故F·=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24.合力F所做的功为24 J.6.【证明】因为O,E,D三点共线,所以向量与向量共线.则存在实数λ1,使得=λ1.而=+=+,则=λ1+.又因为A,E,B三点共线,所以与共线,则存在实数λ2,使=λ2=λ2(-).所以=λ2-λ2.而+=,所以+λ2-λ2=λ1+.即(1-λ2)+λ2=λ1+.因为与不共线,所以所以λ2=.所以=,即BE=BA.