适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图教师用书新人教A版必修第二册

8.2　立体图形的直观图1.斜二测画法(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=________,它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中________x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成________x'轴或y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中______________,平行于y轴的线段,在直观图中______________. 2.用斜二测画法画出的平面图形的直观图是一样的吗?3.直观图与原图形面积之间有何关系?4.与画水平放置的平面图形直观图相比,用斜二测画法画立体图形的直观图时还要注意哪些方面?【基础巩固组】一、单选题1.(教材改编题)长方形的直观图可能为下图中的哪一个 (　　)A.①②　B.①②③　C.②⑤　D.③④⑤2.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 (　　)3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一定是 (　　)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.以上都有可能4.如图,边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图,则图形OABC的面积是 (　　)A. B. C. D.2二、多选题5.等腰三角形ABC的直观图可能是 (　　)A.① B.② C.③ D.④6.(教材改编题)给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的是 (　　)A.角的水平放置的直观图一定是角B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长C.相等的线段在直观图中仍然相等D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行三、填空题7.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=4,B'C'=,则原图中AB边上中线的实际长度为________. 8.在如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2. 四、解答题9.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.10.(教材改编题)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图.【素养提升组】一、选择题1.把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'(如图所示),其中B'O'=O'C'=2,O'D'=.则四边形ABCD一定是一个 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形2.(多选题)如图所示是水平放置三角形的直观图,点D'是△A'B'C'的B'C'边的中点,A'B',B'C'分别与y'轴、x'轴平行,则三条线段AB,AD,AC中 (　　)A.最长的是AB　　 　B.最长的是ACC.最短的是AC D.最短的是AB二、填空题3.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为___________. 4.已知一矩形的长为6,用斜二测画法画出其水平放置的直观图的面积为3,则原矩形的宽为________. 三、解答题5.如图所示,在△ABC中,AC=12 cm,AC边上的高BD=12 cm.(1)画出水平放置的△ABC的直观图;(2)求直观图的面积.6.(教材改编题)作出底面边长为2,侧棱长为3的正三棱柱的直观图.8.2　立体图形的直观图必备知识·落实1.(1)45°(或135°)　(2)平行于　平行于(3)保持原长度不变　长度为原来的一半2.不一定,如果建立坐标轴不同,作出的直观图不一定相同.3.若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.4.(1)画轴时,与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴.(2)平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.知能素养·进阶【基础巩固组】1.C　由斜二测画法知,平行线依然平行,但是直角不再是直角,所以②⑤正确.2.C　直观图中有两边分别与坐标轴平行,所以原图中这两边必垂直,符合条件的只有C.3.C　一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一定是钝角三角形,如图:4.D　还原直观图为原图形如图所示,因为O'A'=1,所以O'B'=,还原回原图形后,OA=O'A'=1,OB=2O'B'=2.所以原图形的面积为1×2=2.5.CD　由题意得,由直观图的画法可知:当∠x'O'y'=45°时,等腰三角形的直观图是④;当∠x'O'y'=135°时,等腰三角形的直观图是③;综上,等腰三角形ABC的直观图可能是③④.6.AD　由斜二测画法规则可知,直观图保持线段的平行性,所以D对,A对;而线段的长度,角的大小在直观图中都会发生改变,所以B,C错.7.【解析】由直观图得出原平面图形△ABC,如图所示:则直观图中A'C'=4,B'C'=,所以△ABC是直角三角形,且AC=4,BC=3,所以AB=5,可得AB边上的中线长度为.答案:8.【解析】由斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以矩形OABC的面积S=2×4=8 cm2.答案:矩形　89.【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,所以原图形ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,且AB=2A'B'=2,AD=A'D'=1,又等腰梯形A'B'C'D'中,B'C'=1+2×=1+,所以BC=B'C'=1+,所以S梯形ABCD=(AD+BC)·AB=×(1+1+)×2=2+,所以原图形的面积为2+.10.【解析】过点A作AO⊥CD,建立平面直角坐标系如图,作BF⊥x轴,EG⊥x轴,垂足分别为F,G,(1)作坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°;(2)在x'轴上取点C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD,O'F'=OF,O'G'=OG;(3)在y'轴上取点A',使O'A'=OA,作F'B'∥y'轴,使F'B'=FB,作G'E'∥y'轴,使G'E'=GE;(4)连接A'B',B'C',D'E',E'A',得五边形ABCDE的直观图.(正五边形的直观图的形状如图所示)【素养提升组】1.D　根据斜二测直观图还原原平面四边形ABCD如图所示:由图可知,OD⊥BC,OC=OB=2,OD=2O'D'=2,由勾股定理可得,CD==4=BC,在斜二测直观图中,四边形A'B'C'D'为平行四边形,则A'D'∥B'C'且A'D'=B'C',在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,所以,四边形ABCD为菱形.2.BD　由题意知,在原图形△ABC中,AB⊥BC,AD为BC边上的中线,所以最长的是AC,最短的是AB.3.【解析】由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高,应分别为4 cm,1cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,与x,z轴平行的直线长度不变,与y轴平行的直线长度为原图的,则图形的尺寸应为4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm.答案:4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm4.【解析】用斜二测画法画出矩形水平放置的直观图面积为S'=3,则原矩形的面积为S=2S'=3×2=12;所以原矩形的宽为b==2.答案:25.【解析】(1)①以D为原点,AC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①,②画出对应的x',y'轴,使∠x'D'y'=45°,在x'轴上取点A',C',使D'A'=DA,D'C'=DC,在y'轴上取点B',使D'B'=DB,连接A'B',C'B',则△A'B'C'即为△ABC的直观图,如图②.(2)在图②中,作B'E⊥A'C',E为垂足,因为D'B'=DB=6 cm,∠B'D'E=45°,所以B'E=6×=3(cm),所以S△A'B'C'=×A'C'×B'E=×12×3=18(cm2).6.【解析】(1)画轴.如图①,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.在x轴上取A,B两点使OA=OB=1,在y轴上取C点使OC=,作水平放置的等边三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC'=3,如图①.(4)成图.顺次连接A',B',C',并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图,如图②.