适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积教师用书新人教A版必修第二册

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系?3.圆柱、圆锥、圆台的体积4.圆柱、圆锥、圆台体积公式之间有什么关系?__________________. 5.球的表面积和体积公式(1)表面积公式S=____________; (2)体积公式V=______________. (R为球的半径) 【基础巩固组】一、单选题1.已知一个圆柱的表面积等于侧面积的,且其轴截面的周长为16,则该圆柱的体积为 (　　)A.8π B.16π C.27π D.36π2.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高长为 (　　)A. B.2 C. D.3.(教材改编题)将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　)A.π B.π C. D.4.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　)A.12π B.24πC.36π D.144π二、多选题5.等腰直角三角形直角边长为1 ,现将该三角形绕其某一边旋转一周 ,则所形成的几何体的表面积可以为 (　　)A.π B.(1+)πC.2π D.(2+)π6.圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形,则圆柱的体积为 (　　)A.　　　　　　　　B.C. D.三、填空题7.已知一圆台的底面圆的周长分别为4π和10π,高为4,则圆台的表面积为________. 8.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为________. 四、解答题9.如图,圆柱的底面半径为2,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.(1)计算圆柱的表面积;(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?材料最省为多少?【素养提升组】一、选择题1.已知正四面体A-BCD外接球的表面积为12π,则该正四面体的表面积为 (　　)A.4 B.6 C.8 D.122.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸) (　　)A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸二、填空题3.(教材改编题)某种浮标是一个半球,其直径为0.2 m,如果在浮标的表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料______kg.(π取3.14) 4.如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯,现将一个球状物体放入其中,使其完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出水的体积为________. 三、解答题5.(教材改编题)如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.6.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为,求圆柱被分成两部分中较大部分的体积.8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积必备知识·落实1.2πrl　2πr(r+l)　πrl　πr(r+l)π(r'l+rl)　π(r'2+r2+r'l+rl)2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl.3.πr2h　πr2h4.圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系:5.(1)4πR2　(2)πR3知能素养·进阶【基础巩固组】1.B　设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则,解得.所以该圆柱的体积为V=π×22×4=16π.2.D　设圆锥底面半径是r,母线长l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1.①,根据圆心角公式得π=,即l=3r②,由①②解得r=,l=,所以高h===.3.D　将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,该球为正方体的内切球,其半径为,所以球的体积为π×=.4.C　这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即R==3,所以,这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.5.AB　如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,所以所形成的几何体的表面积为S=πrl+πr2=π×1×+π×12=(+1)π.如果绕斜边旋转,形成的是上下两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以形成的几何体的表面积为S=2×πrl=2×π××1=π.综上可知形成几何体的表面积是(+1)π或π.6.AB　设圆柱底面半径为r,若高是a,则2πr=2a,r=,V=πr2a=π××a=,若高是2a,则2πr=a,r=,V=πr2·2a=π××2a=.7.【解析】设圆台的上下底面半径分别为r,R,则2πr=4π,2πR=10π,r=2,R=5,圆台的母线长l==5,所以圆台的表面积S=4π+25π+×5×(4π+10π)=4π+25π+35π=64π.答案:64π8.【解析】设大球的半径为r,则π×13×2=πr3,所以r=.答案:9.【解析】(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为4,故圆柱的表面积S=2×π×22+2π×2×4=24π.(2)因为圆锥的底面半径为2,高为4,所以圆锥的体积V圆锥=×π×22×4=;因为球的直径与圆柱底面的直径相等,所以球的半径为2,所以球的体积V球=×23=;又圆柱的体积V圆柱=π×22×4=16π;所以V圆锥∶V球∶V圆柱=∶∶16π=1∶2∶3.10.【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须有V圆锥≥V半球,而V半球=××43,V圆锥=π×42×h,则有π×42×h≥××43,解得h≥8,即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=4π,所以当高为8 cm时,制作的杯子最省材料,材料最省为16π cm2.【素养提升组】1.C　设外接球半径为R,则S=4πR2=12π,解得R=,将正四面体A-BCD恢复成正方体,知正四面体的棱为正方体的面对角线,故AB××=2,解得AB=2,故该正四面体的表面积为4××(2)2=8.2.A　作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G是OF的中点,所以GE为梯形OCBF的中位线,所以GE==10(寸).所以盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),所以平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.3.【解析】由题意知,半球的半径R=0.1 m.一个浮标的表面积S=·4πR2+πR2=3πR2=3×3.14×0.12=0.094 2 m2,所以1 000个浮标涂防水漆需要涂料1 000×0.5×0.0 942=47.1(kg).答案:47.14.【解析】如图,球心为圆锥截面三角形的中心,圆锥截面为正三角形,且边长为2,设球的半径为r,则r=×=.溢出水的体积等于球的体积:π×()3=.答案:5.【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为S,则R=OC=2,AC=4,AO==2,h=,AE=AO-h=.如图所示,易知△AEB∽△AOC,所以=,即=,所以r=1,S圆柱底=2πr2=2π,S圆柱侧=2πr·h=2π.所以S=S圆柱底+S圆柱侧=2π+2π=(2+2)π.6.【解析】设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1,圆柱的体积为V,DC将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为S1,圆柱的底面积为S,则S1=×π×22+×2×2×=+,V=π×22×3=12π,S=π×22=4π,所以依题意可得=,则V1=V=×12π=10π+3.圆柱侧面积:S侧=______ 表面积:S=________ 圆锥侧面积:S侧=______ 表面积:S=________ 圆台侧面积:S侧=__________ 表面积:S=____________ 圆柱V圆柱=Sh=______ 圆锥V圆锥=Sh=______ 圆台V圆台=(S++S')h=π(r2+rr'+r'2)h