2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=8x的焦点坐标是( )
A. (−2,0)B. (0,−2)C. (2,0)D. (0,2)
2.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.圆心为M(2,−1)，且与直线x−2y+1=0相切的圆的方程为( )
A. (x−2)2+(y−1)2=5B. (x−2)2+(y+1)2=5
C. (x−2)2+(y+1)2=25D. (x−2)2+(y−1)2=25
4.已知过A(m,2)，B(−m,m−1)两点的直线的倾斜角是45°，则A，B两点间的距离为( )
A. 2B. 6C. 2 2D. 3 2
5.若圆C1：(x−a)2+y2=1与圆C2：x2+y2=25相交，则实数a的取值范围是( )
A. (4,6)B. [4,6]C. (−6,−4)∪(4,6)D. [−6,−4]∪[4,6]
6.已知以双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴，虚轴为两条对角线的四边形的面积为8，且双曲线C的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为( )
A. x28−y28=1B. x24−y24=1C. x22−y22=1D. x2−y2=1
7.已知圆C1：(x−1)2+(y−2)2=1，圆C2：(x−3)2+(y+4)2=4，M，N分别是圆C1，C2上两个动点，P是x轴上动点，则PN−PM的最大值是( )
A. 2 2+3B. 2 2+5C. 2 10+3D. 2 10+5
8.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C1：x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=60°，若椭圆C的离心率e∈[ 22, 32]，则双曲线C1的离心率e1的取值范围为( )
A. [ 52, 62]B. [ 62,+∞)C. [ 62, 142]D. [3 24, 62]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.方程x24−m+y23−m=1表示的曲线中，可以是( )
A. 双曲线B. 椭圆C. 圆D. 抛物线
10.下列说法正确的是( )
A. 若动圆C与圆C1：(x+1)2+y2=1外切，且与圆C2：(x−1)2+y2=9内切，则动圆的圆心C的轨迹是一个完整的椭圆
B. 若动点P到F(1,0)的距离是到直线x=9的距离的13，则动点P的轨迹是一个完整的椭圆
C. 将椭圆x24+y28=1上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆
D. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−34，则点M的轨迹是一个完整的椭圆
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，斜率为 3且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若AF=4，则( )
A. 抛物线C的准线方程为x=−1B. △OAD的面积为2 3
C. BD=3BFD. DF=4
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(6,0)，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为C，则( )
A. 轨迹C的方程为(x+3)2+y2=36
B. 在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12
C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D. 在轨迹C上存在点M，使得MA⋅MO=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线x24−y23=1的渐进线方程是 ．
14.已知直线l1：x+(m+1)y+m−2=0，l2：mx+2y+8=0平行，则这两条平行直线之间的距离为______ ．
15.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点F1(−1,0)，F2(1,0)的距离之积等于2，化简得曲线C：x2+y2+1=2 x2+1，则OP的最大值为______ ．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x−2)2+(y−4)2=2的一条弦，且满足CM⊥CN，点P是MN的中点，当弦MN在圆C上运动时，直线2x−y−3=0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1的方程为2x+y−4=0，若直线l2过点(−3,0)，且l1⊥l2．
(1)求直线l2的方程；
(2)已知直线m经过直线l1与直线l2的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线m的方程．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A(1,0)和点B(−1,2)，且圆心在直线2x−y+2=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线x=ay+3被圆C截得弦长为2 3，求实数a的值．
19.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距F1F2为2，过F1的直线交椭圆E于A，B两点，且△ABF2的周长为4 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为2，求△ABF2的面积．
20.(本小题12分)
已知抛物线E的方程为y2=2x，点F为抛物线E的焦点．
(1)若点P是抛物线E上的一个动点，且点M(3,2)，求PM+PF的最小值；
(2)若A(t,2)、B、C三点都在抛物线E上，直线AB、AC都与圆(x−3)2+y2=1相切，求直线BC的方程．
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 22，且椭圆E过点A(2,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆E于点B，交y轴于点C．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知P为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥CQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−2 3,0)，渐近线方程为y=± 2x．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(3,0)的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，M在第一象限，直线AM与BN交于点Q.求证：点Q在定直线上．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y2=8x，
所以p=4，
所以焦点(2,0)，
故选：C．
根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．
本题考查抛物线的焦点，部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点(p,0)，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意可得a=2，b= 3，c=1，
∴△PF1F2的周长为2a+2c=6．
故选：D．
根据题圆的几何性质即可求解
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得M(2,−1)到直线x−2y+1=0的距离d=|2+2+1| 1+4= 5，
因此，所求圆的半径r= 5，圆心为M(2,−1)，可知其方程为(x−2)2+(y+1)2=5．
故选：B．
根据题意，圆M的半径等于点M到直线x−2y+1=0的距离，由此算出答案．
本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得m−1−2−m−m=tan45°=1，
所以m=1，A(1,2)，B(−1,0)，
所以|AB|= (1+1)2+(2−0)2=2 2．
故选：C．
结合直线的斜率公式先求出m，然后结合两点间距离公式可求．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，直线的斜率公式，两点间的距离公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为圆C1：(x−a)2+y2=1与圆C2：x2+y2=25相交，
所以5−10，y2