新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形核心考点4解三角形的最值和范围问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形核心考点4解三角形的最值和范围问题教师用书，共3页。试卷主要包含了故选D．等内容，欢迎下载使用。
角度1：三角形中的最值问题
1. (2023·天津期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为S,2a＋b＝4，c(a＋b－c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))－2eq \(CB,\s\up6(→))，则|eq \(CD,\s\up6(→))|的最小值为( D )
A．2 B．eq \f(2\r(2),3)
C．3 D．eq \f(2\r(3),3)
【解析】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为S,2a＋b＝4，c(a＋b－c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S，则c(a＋b－c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3absin C，则c(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3abc，则a2＋b2－c2＝ab，即cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，又C∈(0，π)，则C＝eq \f(π,3)，又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,9)b2＋eq \f(1,9)(2a)2＋eq \f(1,9)(2a)b＝eq \f(1,9)[(2a＋b)2－(2a)b]＝eq \f(16,9)－eq \f(1,9)(2a)b≥eq \f(16,9)－eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a＋b,2)))2＝eq \f(4,3)，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号，即|eq \(CD,\s\up6(→))|2的最小值为eq \f(4,3)，即|eq \(CD,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(2\r(3),3).故选D．
2. (2023·柳州模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝4，则△ABC面积的最大值为( B )
A．3eq \r(3) B．4eq \r(3)
C．5eq \r(3) D．6
【解析】 △ABC中，B＝60°，b＝4，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(4,\f(\r(3),2))＝eq \f(8,\r(3))，所以a＝eq \f(8,\r(3))sin A，c＝eq \f(8,\r(3))sin C，故S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)×eq \f(64,3)sin Asin C＝eq \f(16\r(3),3)sin A·sin(120°－A)＝eq \f(16\r(3),3)sin Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs A＋\f(1,2)sin A))＝eq \f(16\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)sin 2A＋\f(1,4)1－cs 2A))＝eq \f(16\r(3),3)×eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2A))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs 2A＋\f(1,2)))＝eq \f(8\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin2A－30°＋\f(1,2)))，因为A∈(0°，120°)，2A－30°∈(－30°，210°)，所以sin(2A－30°)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以△ABC面积的最大值为eq \f(8\r(3),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝4eq \r(3).故选B．
角度2：解三角形中的范围问题
3. (2023·九龙坡区校级期中)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若eq \f(cs B,b)＋eq \f(cs C,c)＝eq \f(\r(3)sin A,3sin C)，且cs 2B＋2cs2eq \f(B,2)＝1，则a＋c的取值范围是( B )
A．(eq \r(3)，2eq \r(3)) B．(3,2eq \r(3)]
C．[eq \r(3)，2eq \r(3)] D．[3,2eq \r(3)]
【解析】 △ABC中，由eq \f(cs B,b)＋eq \f(cs C,c)＝eq \f(\r(3)sin A,3sin C)，得eq \f(a2＋c2－b2,2abc)＋eq \f(a2＋b2－c2,2abc)＝eq \f(a,\r(3)c)，∴eq \f(2a2,2ab)＝eq \f(a,\r(3))，得b＝eq \r(3)；∵cs 2B＋2cs2eq \f(B,2)＝1，∴2cs2B＋cs B－1＝0，∴解得cs B＝eq \f(1,2)(cs B＝－1舍去)，则B＝eq \f(π,3).由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴a＝2sin A，c＝2sin C；由A＋B＋C＝π，得A＋C＝eq \f(2π,3)，∴C＝eq \f(2π,3)－A，且0