新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点4三角形中的最值和范围的综合题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点4三角形中的最值和范围的综合题教师用书，共3页。
(1)求AB；
(2)若△ABD与△ABC在同一个平面内，且∠ADB＝eq \f(π,4)，求CD的最大值．
【解析】 (1)因为A＝eq \f(π,4)，tan B＝eq \f(\r(3),2－\r(3))>0，所以B为锐角，则如图，过C作AB边上的高CM，其中M为垂足，M在线段AB上，
因为A＝eq \f(π,4)，b＝eq \r(6)，所以△ACM为等腰直角三角形，则AM＝CM＝eq \f(\r(2),2)AC＝eq \f(\r(2),2)b＝eq \r(3)，
又tan B＝eq \f(\r(3),2－\r(3))，所以从Rt△CMB可知tan B＝eq \f(CM,BM)＝eq \f(\r(3),BM)，所以BM＝2－eq \r(3)，
所以AB＝AM＋BM＝eq \r(3)＋2－eq \r(3)＝2.
(2)当CD取得最大值时，C与D分别位于AB两侧，此时设∠BAD＝θ，则∠ABD＝eq \f(3π,4)－θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，
因此在△ABD中，由正弦定理eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)得：eq \f(2,sin \f(π,4))＝eq \f(AD,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－θ)))，
所以AD＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－θ))＝2(sin θ＋cs θ)，
因此由余弦定理得：
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs∠CAD＝4(sin θ＋cs θ)2＋6－4eq \r(6)(sin θ＋cs θ)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝10＋4sin 2θ－4eq \r(3)cs 2θ＝10＋8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))，
故当θ＝eq \f(5π,12)时，CD2取得最大值18，由此可得CD≤3eq \r(2)，因此CD的最大值为3eq \r(2).
方法技巧·精提炼
解决三角形中的最值问题或者范围问题一般是两种思路：一是利用正余弦定理的边角关系转化为三角函数，利用三角恒等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据角的范围求得最值或范围；二是寻求边角关系，利用基本不等式求得最值或范围．
加固训练·促提高
1. (2023·湖南张家界统考二模)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C．
(1)求A；
(2)若a＝2eq \r(5)，求△ABC的面积的最大值．
【解析】 (1)由asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C，
得asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，
由正弦定理，得a2＝b2＋(c－b)c＝b2＋c2－bc.
由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，a＝2eq \r(5)，
所以b2＋c2－20＝bc，
∵b2＋c2≥2bc，∴b2＋c2－20＝bc≥2bc－20，
所以bc≤20，当且仅当b＝c＝2eq \r(5)时取“＝”．
所以三角形的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A≤5eq \r(3).
所以三角形面积的最大值为5 eq \r(3).
2. (2023·全国模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(sin A－sin C)2＋cs 2B＝1－2sin Asin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3，求△ABC面积的取值范围．
【解析】 (1)因为2(sin A－sin C)2＋cs 2B＝1－2sin Asin C，
所以(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，
所以sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，
由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，
因为0