新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第1讲函数的图象与性质核心考点1函数的概念与表示教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第1讲函数的图象与性质核心考点1函数的概念与表示教师用书，共6页。试卷主要包含了故选D．等内容，欢迎下载使用。

1. (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( B )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
【解析】 解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝eq \f(－x＋1＋2,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，所以函数f(x)的对称中心为(－1，－1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y＝f(x－1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y＝f(x－1)＋1为奇函数．故选B．
解法二：直接代入验证f(x－1)＋1＝eq \f(2,x)为奇函数，满足条件．
2. (2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( D )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(3,2)
C．eq \f(7,4) D．eq \f(5,2)
【解析】 ∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x)．令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x)．当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(9,4)＋2))＝eq \f(5,2).故选D．
3. (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq \i\su(k＝1,22,f)(k)＝( A )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
【解析】 因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq \i\su(k＝1,22,f)(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
4. (2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象大致为( A )
【解析】 令f(x)＝(3x－3－x)cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B、D；又当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，3x－3－x>0，cs x>0，所以f(x)>0，排除C．故选A．
5. (多选)(2023·全国新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( ABC )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
【解析】 解法一：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确．对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确．对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确．对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．
解法二：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确．对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确．对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确．对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到eq \f(fxy,x2y2)＝eq \f(fx,x2)＋eq \f(fy,y2)，故可以设eq \f(fx,x2)＝ln|x|(x≠0)，则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2ln|x|，x≠0，,0，x＝0，))当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·eq \f(1,x)＝x(2ln x＋1)，令f′(x)0，解得x>eq \f(1,2)或x\f(1,2)或x1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝ eq \f(37,28) ；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是 3＋eq \r(3) .
【解析】 由已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋2＝eq \f(7,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)))＝eq \f(7,4)＋eq \f(4,7)－1＝eq \f(37,28)，所以feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝eq \f(37,28)，当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋eq \f(1,x)－1≤3，所以10，,x－2≠0，))解得10，,x2－4>0，))解得x>2.∴函数y＝lg(x－1)＋eq \f(1,\r(x2－4))的定义域为(2，＋∞)．
角度2：分段函数及其应用
3. (2023·呼和浩特模拟)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,lg2x＋3，x>0，))则f(f(－2))＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,lg2x＋3，x>0，))则f(－2)＝4＋1＝5，则f(f(－2))＝lg28＝3.故选C．
4.函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－1，x≤0，,x eq \s\up10(\f(1,2))，x>0，))满足f(x)>1的x的取值范围( D )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．{x|x>0或x1或x1即2－x－1>1,2－x>2＝21，∴－x>1，x0时，f(x)>1即x eq \s\up10(\f(1,2))>1，x>1，综上，x1，故选D．
方法技巧·精提炼
1.函数定义域的求解方法
(1)给出解析式的函数，其定义域是使得解析式有意义的自变量的取值集合，构建不等式(组)求解即可；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；
(3)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则由x∈[a，b]求得g(x)的值域即可．
2.处理分段函数问题的基本策略
(1)确定自变量的取值范围属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数毫无意义的；
(2)画出函数的图象，结合图象可将代数问题直接地分析判断出来．
加固训练·促提高
1. (2023·靖江市校级月考)若函数f(x)＝eq \f(2,x－1)的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域为( D )
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
【解析】 由题意可得：当x