新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系核心考点3折叠问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系核心考点3折叠问题教师用书，共2页。
典例3 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1－ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明：BE⊥平面D1AE；
(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出eq \f(AM,AB)的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝2，
∴AE＝BE＝2eq \r(2)，AB＝4，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面D1AE.
(2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(1,4).
取D1E中点N，连接AN，FN，
∵FN∥EC，EC∥AB，
∴FN∥AB，且FN＝eq \f(1,2)EC＝eq \f(1,4)AB，
∴M，F，N，A共面，
若MF∥平面AD1E，则MF∥AN.
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴AM＝FN＝eq \f(1,4)AB.
∴eq \f(AM,AB)＝eq \f(1,4).
方法技巧·精提炼
折叠问题的处理策略
(1)一般情况下，位于折痕同侧的点、线、面的位置关系和数量关系不会发生变化，而位于折痕两侧的点、线、面的位置关系和数量关系会发生改变；
(2)特别地，与折痕平行或垂直的线段，翻折前后平行、垂直关系不变．
加固训练·促提高
(2023·平顶山模拟)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足AD＝DE＝2，CE＝1，将△ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P－ABCE.
(1)若点F在线段AP上，且EF∥平面PBC，试确定点F的位置；
(2)若PB＝eq \r(7)，求四棱锥P－ABCE的体积．
【解析】 (1)如图，过点F作FG∥AB交PB于点G，连接CG，
因为FG∥AB∥EC，所以E，F，G，C四点共面，
若EF∥平面PBC，由EF⊂平面EFGC，平面EFGC∩平面PBC＝CG，
所以EF∥CG，所以四边形EFGC为平行四边形，FG＝CE＝eq \f(1,3)AB，
则eq \f(PF,PA)＝eq \f(FG,AB)＝eq \f(1,3)，
所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF∥平面PBC.
(2)如图，取AE的中点O，连接OB，取BC的中点M，连接OM，
则OM＝2，BM＝1，所以OB＝eq \r(5)，
又PA＝PE＝2，
则OA＝OE＝OP＝eq \r(2)，又PB＝eq \r(7)，
则OB2＋OP2＝PB2，
所以PO⊥OB.
因为PO⊥AE，PO⊥OB，AE∩OB＝O，AE，OB⊂平面ABCE，
所以PO⊥平面ABCE，
则四棱锥P－ABCE的体积为V＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(1＋3×2,2)＝eq \f(4\r(2),3).