新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点3圆锥曲线的交汇问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点3圆锥曲线的交汇问题教师用书，共3页。

典例 (1) (2023·射洪市校级模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为( B )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点在(1,0)，准线为x＝－1，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆中，c＝1，当x＝－1时，|y|＝eq \f(3,2)，故eq \f(1,a2)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝eq \r(3)，故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选B.
(2) (2023·和平区校级二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( A )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,9)D．eq \f(1,2)
【解析】 根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x＝－eq \f(p,2)的距离也为5，即1＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，则m2＝16，所以m＝4，即M的坐标为(1,4)，又双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1的左顶点A(－a,0)，一条渐近线为y＝eq \f(1,a)x，而kAM＝eq \f(4,1＋a)，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有eq \f(4,1＋a)＝eq \f(1,a)，解得a＝eq \f(1,3).故选A.
(3) (2023·锦江区校级模拟)已知F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F1作斜率为eq \f(\r(2),2)的直线l与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，以F2为圆心的圆过M，N，则双曲线C的离心率为( B )
A.eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．eq \r(5)
【解析】 取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2＝NF2，连接F2P，则F2P⊥MN，设MF2＝NF2＝x，因为MF2－MF1＝2a，则MF1＝x－2a，又因为NF1－NF2＝2a，则NF1＝x＋2a，所以MN＝NF1－MF1＝4a，则MP＝NP＝2a，故PF1＝x，在Rt△F1F2P中，PF2＝eq \r(4c2－x2)，在Rt△MF2P中，PF2＝eq \r(x2－4a2)，所以eq \r(4c2－x2)＝eq \r(x2－4a2)，解得x2＝2a2＋2c2，又直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则tan∠PF1F2＝eq \f(F2P,F1P)＝eq \f(\r(2b2),\r(2a2＋2c2))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(c2－a2,a2＋c2)＝eq \f(1,2)，即c2＝3a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).故选B.
方法技巧· 精提炼
圆锥曲线及圆之间的综合问题
抓联系辨性质：圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题的解决，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．
加固训练· 促提高
1. (2023·河南三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为( B )
A．πB．eq \f(π,2)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,4)
【解析】 由题意，作图如下：
设P(t2,2t)(不妨令t＞0)，由已知可得F(1,0)，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2＋1,2)，t))，所以直线OM的方程为y＝eq \f(2t,t2＋1)x，设k＝eq \f(2t,t2＋1)，则k＝eq \f(2,t＋\f(1,t))≤1(当且仅当t＝1时取“＝”)，所以点F到直线OM的距离为eq \f(|k|,\r(k2＋1))＝eq \f(1,\r(1＋\f(1,k2)))≤eq \f(\r(2),2)，即圆F的半径最大值为eq \f(\r(2),2)，面积最大值为eq \f(π,2).故选B.
2. (2023·定远县校级模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为_10__.
【解析】 由x2＋y2－6x＋8＝0得(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3,0)，即椭圆的一个焦点是(3,0)，所以a2－b2＝9，又2b＝8，得a2＝25，即a＝5，所以2a＝10，椭圆的长轴长为10.