新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点3经验回归方程教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点3经验回归方程教师用书，共3页。试卷主要包含了相关系数，经验回归方程等内容，欢迎下载使用。
1．相关系数：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(－))2)).
2．经验回归方程：将eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))称为y关于x的经验回归方程，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))，(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))称为样本中心．
典例研析· 悟方法
典例1 (2023·济南模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情．某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位：百人)的数据．
(1)根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明(保留两位有效数字)；
(2)经过测算，若一天中滑雪人数超过3 000人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的经验回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利．
附注：参考数据：eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝532，eq \r(\i\su(i＝1,7, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7, )yi－\(y,\s\up6(－))2)≈57.5.
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ui－\(u,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )ui－\(u,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n, )vi－\(v,\s\up6(－))2)).
【解析】 (1)因为eq \(x,\s\up6(－))＝4，eq \(y,\s\up6(－))＝17，所以eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝eq \i\su(i＝1,7,x)iyi－eq \i\su(i＝1,7, )eq \(x,\s\up6(－))eq \(y,\s\up6(－))＝532－7×4×17＝56，
所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,7, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7, )yi－\(y,\s\up6(－))2))≈eq \f(56,57.5)≈0.97，
因为样本相关系数|r|接近于1，所以可以推断x和y这两个变量线性相关，且相关程度很强．
(2)因为eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋…＋(7－4)2＝28，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7, )xi－\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(56,28)＝2，因为eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))＝17－2×4＝9，所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋9，因为一天中滑雪人数超过3 000人时，当天滑雪场可实现盈利，即2x＋9>30时，可实现盈利，解得x>10.5，所以根据经验回归方程预测，该滑雪场开业的第11天开始盈利．
方法技巧· 精提炼
求回归直线方程的方法
(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线必经过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))快速解决．
(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤：
①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；
②计算eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)，eq \i\su(i＝1,n,x)iyi的值；
③计算回归系数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))；
④写出回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).
加固训练· 促提高
(2023·吕梁三模)数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中年份2018—2022对应的代码分别为1～5.
(1)由上表数据知，可用指数函数模型y＝a·bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a，b的值精确到0.1)；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b－1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
其中vi＝ln yi，eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,v)i.
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\(u,\s\up6(－))\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u)\\al(2,i)－n\(u,\s\up6(－))2)，eq \(α,\s\up6(^))＝v－eq \(β,\s\up6(^))u.
【解析】 (1)因为y＝a·bx，所以两边同时取常用对数，得ln y＝ln a＋xln b，
设v＝ln y，所以v＝ln a＋xln b，设α＝ln a，β＝ln b，
因为eq \(x,\s\up6(－))＝3，eq \(v,\s\up6(－))＝1.94，
所以eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)ivi－5\(x,\s\up6(－))·\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(33.82－5×3×1.94,55－5×32)＝0.472，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))＝1.94－0.472×3＝0.524，
所以ln eq \(a,\s\up6(^))＝0.524，ln eq \(b,\s\up6(^))＝0.472，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝e0.524＝1.7，eq \(b,\s\up6(^))＝e0.472＝1.6，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝1.7×1.6x.
(2)由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率1.6－1.3＝0.3，
2022年中国车载音乐市场规模为1.7，
故预测2024年的中国车载音乐市场规模1.7(1＋0.3)2＝2.873(十亿元). 天数代码x
1
2
3
4
5
6
7
滑雪人数y/百人
11
13
16
15
20
21
23
年份代码x
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模y
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0
eq \(v,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,5,x)ivi
e0.524
e0.472
1.94
33.82
1.7
1.6