新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第3讲创新情境与数学文化教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第3讲创新情境与数学文化教师用书，共20页。试卷主要包含了75 B．0，故选A．，故选D等内容，欢迎下载使用。

1. (2022·全国新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为eq \f(DD1,OD1)＝0.5，eq \f(CC1,DC1)＝k1，eq \f(BB1,CB1)＝k2，eq \f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( D )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
【解析】 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，且eq \f(DD1＋CC1＋BB1＋AA1,OD1＋DC1＋CB1＋BA1)＝0.725，解得k3＝0.9，故选D.
2. (2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A．eq \f(\r(5)－1,4) B．eq \f(\r(5)－1,2)
C．eq \f(\r(5)＋1,4) D．eq \f(\r(5)＋1,2)
【解析】 如图，取CD的中点E，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(b2－\f(a2,4))，由题意PO2＝eq \f(1,2)ab，即b2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ab，化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2·eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝eq \f(1＋\r(5),4)(负值舍去)．故选C．
3. (2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i3eq \r(2)，所以直线x＋y－4＝0与曲线C相离，故选项C错误；因为P是曲线C上任意一点，要使△ABP的面积最大，则曲线C上的点到x轴的距离最大，即△ABP的边AB上的高等于圆的半径3eq \r(2)时，△ABP的面积最大，此时点P的坐标为(－4，±3eq \r(2))，故选项D错误．故选AB.
典例21 (2023·全国高三专题练习)第24届冬季奥林匹克运动会，已于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为( B )
A．eq \f(\r(290),11) B．eq \f(\r(290),13)
C．eq \f(13,11) D．eq \f(12,5)
【解析】 依题意，以点O2为原点，直线O1O3为x轴建立平面直角坐标系，如图，点O4(－13，－11)，设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，因直线O2O4为一条渐近线，则有eq \f(b,a)＝eq \f(11,13)，双曲线C的离心率为e＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,13)))2)＝eq \f(\r(290),13).故选B.
1. (2023·天津)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由题意可得：“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选B.
2. (2022·内蒙古赤峰高三统考阶段练习)
材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为S＝eq \r(pp－ap－bp－c)，其中p＝eq \f(a＋b＋c,2).这个公式被称为海伦一秦九韶公式．
材料二：阿波罗尼奥斯(Apllnius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知△ABC中，BC＝6，AB＋AC＝10，则△ABC面积的最大值为( C )
A．6 B．10
C．12 D．20
【解析】 令AB＝x，则AC＝10－x且BC＝6，故x∈(2,8)，而p＝eq \f(a＋b＋c,2)＝8，所以△ABC面积S＝eq \r(168－xx－2)＝eq \r(－16x－52＋144)，当x＝5时，Smax＝12.故选C．
3. (2022·河南高三校联考阶段练习)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为( B )
A．0.546 1 B．0.551 9
C．0.550 5 D．0.573 6
【解析】 由题意，cs 416.5°＝cs 56.5°＝sin 33.5°＝sin 33°30′，查表可知sin 33°30′＝0.551 9.故选B.
4. (2022·浙江校联考模拟预测)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ(0°≤θb>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G-Mnge(1746—1818)最先发现．若椭圆C的离心率为e，左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则eq \f(|PM|·|PN|,|PF1|·|PF2|)＝( B )
A．eq \f(1,e2) B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
【解析】 令|PF1|·|PF2|＝m，因为|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，所以PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝4a2－2m，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(PF1,\s\up6(→))＋\(PF2,\s\up6(→))＝2\(PO,\s\up6(→))，,\(PF1,\s\up6(→))－\(PF2,\s\up6(→))＝\(F2F1,\s\up6(→))，))所以eq \(PF1,\s\up6(→))2＋eq \(PF2,\s\up6(→))2＋2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝4eq \(PO,\s\up6(→))2①，eq \(PF1,\s\up6(→))2＋eq \(PF2,\s\up6(→))2－2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(F2F1,\s\up6(→))2②则①＋②可得8a2－4m＝4eq \(PO,\s\up6(→))2＋4c2，解得eq \(PO,\s\up6(→))2＝2a2－c2－m，所以|PM|·|PN|＝(r－|PO|)(r＋|PO|)＝r2－|PO|2＝a2＋b2－(2a2－c2－m)＝m，故eq \f(|PM|·|PN|,|PF1|·|PF2|)＝1，故选B.
7. (2022·全国高三专题练习)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为( A )
A．24 B．6
C．6eq \r(3) D．6eq \r(2)
【解析】 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝4，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4cs \f(π,3)，4sin \f(π,3)))＝(2,2eq \r(3))，|eq \(MP,\s\up6(→))|＝eq \f(8,3)，即eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，0))，|eq \(PN,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)，由分形知PN∥OM，所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(7\r(3),3)))，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝2×5＋2eq \r(3)×eq \f(7\r(3),3)＝24.故选A．
8. (2022·广东深圳)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y＝[x]被称为“高斯函数”，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]＝2，[3]＝3，[－1.5]＝－2，设x0为函数f(x)＝x＋lg x－5的零点，则[x0]＝( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 因为函数f(x)＝x＋lg x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f(4)＝lg 4－10，则存在唯一零点x0∈(4,5)，使得f(x0)＝0，由高斯函数的定义可知，[x0]＝4.故选B.
9. (2023·山西忻州)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 f′(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)，令x0为函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，则1＋ln x0－eq \f(2,x0)＝eq \f(f2－f1,2－1)＝0，令g(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)，则g′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)>0在[1,2]上恒成立，故g(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)在[1,2]上单调递增，又g(1)＝1－2＝－10，由零点存在性定理可得：存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.故选B.
10. (2022·湖北武汉)正整数1,2,3，…，n的倒数的和1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)≈ln n＋γ.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，γ≈0.577 215 664 901…，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数．设[x]表示不超过x的最大整数．用上式计算eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋…＋\f(1,2 022)))的值为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30)( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 由题意知1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2 022)＝ln 2 022＋γ.而ln 2 022＝ln(2×3×337)＝ln 2＋ln 3＋ln 337≈1.79＋ln 337，又ln 300