新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第2讲随机变量及其分布列核心考点2超几何分布教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第2讲随机变量及其分布列核心考点2超几何分布教师用书，共3页。

超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝eq \f(M,N)，则E(X)＝ eq \f(nM,N) ＝_np__.
典例研析· 悟方法
角度1：超几何分布及概率计算
典例3 (多选)袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是( BD )
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为eq \f(1,14)
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq \f(1,14)
【解析】 根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；取出2个白球的概率为eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，故C错误；若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，故D正确．
角度2：超几何分布的分布列
典例4 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
【解析】 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数为3,2,2.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,35)＋1×eq \f(12,35)＋2×eq \f(18,35)＋3×eq \f(4,35)＝eq \f(12,7).
方法技巧· 精提炼
超几何分布的特点和应用条件
(1)超几何分布的两个特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量表示抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的应用条件：①两类不同的对象(物品、人或事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．
加固训练· 促提高
1. (2023·虹口区二模)端午节吃粽子是我国的传统习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为 eq \f(6,5) .
【解析】 设取到白米粽的个数为随机变量X，则X＝0,1,2,3，所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(20,120)＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(60,120)＝eq \f(1,2)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4),C\\al(3,10))＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,10))＝eq \f(4,120)＝eq \f(1,30)，所以E(X)＝eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
2.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n(n∈N，n>0)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为eq \f(4,15).
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的分布列；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．
【解析】 (1)从(n＋8)个城市中一次抽取2个城市，有Ceq \\al(2,n＋8)种情况，其中全是小城市的有Ceq \\al(2,8)种情况，则全是小城市的概率为eq \f(C\\al(2,8),C\\al(2,n＋8))＝eq \f(8×7,n＋8n＋7)＝eq \f(4,15)，解得n＝7(负值舍去)．
(2)①由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,8)C\\al(4,7),C\\al(4,15))＝eq \f(1,39)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,8)C\\al(3,7),C\\al(4,15))＝eq \f(8,39)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(2,7),C\\al(4,15))＝eq \f(28,65)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,8)C\\al(1,7),C\\al(4,15))＝eq \f(56,195)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,8)C\\al(0,7),C\\al(4,15))＝eq \f(2,39).
故X的分布列为
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有Ceq \\al(4,7)＝35种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有Ceq \\al(4,8)＝70种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为eq \f(35,35＋70)＝eq \f(1,3).X
0
1
2
3
P
eq \f(1,35)
eq \f(12,35)
eq \f(18,35)
eq \f(4,35)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,39)
eq \f(8,39)
eq \f(28,65)
eq \f(56,195)
eq \f(2,39)