2023-2024学年新疆伊犁州华赉伊高中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆伊犁州华赉伊高中联盟高二（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l经过两点(1,2)，(2,1)，则l的倾斜角为( )
A. 16πB. 14πC. 23πD. 34π
2.椭圆x26+y216=1的离心率为( )
A. 106B. 104C. 155D. 38
3.圆M：(x−1)2+(y+2)2=2与圆N：x2+y2+2y−8=0的位置关系是( )
A. 相交B. 外离C. 内含D. 外切
4.空间直角坐标系中，已知A(1,1,2)，B(2,1,−1)，点A关于xOy平面对称的点为C，则B，C两点间的距离为( )
A. 2B. 3 2C. 14D. 4
5.经过椭圆C：x2100+y225=1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为( )
A. 20B. 200C. 40D. 400
6.直线l： 3x+y− 3=0与椭圆C：x216+y24=1的一个交点坐标为( )
A. (2, 3)B. (213,11 313)C. (−2,3 3)D. (−213,15 313)
7.在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F，G分别为棱A1C1，BB1，CC1，BC的中点，若AD=a，AE=b，AF=c，则A1G=( )
A. 2a+12b−32c
B. 2a−12b+32c
C. −2a+12b+32c
D. −2a−12b+32c
8.已知椭圆C：x218+y29=1的右焦点为F，P是C上一点，M(−2,−1)，当△MPF的周长最小时，其面积为( )
A. 12B. 6C. 8D. 10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x2m−8+y22−m=−1表示椭圆，则实数m的取值可能是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列命题中，正确的是( )
A. 直线l的一个方向向量是a=(1,−1,2)，平面α的一个法向量是n=(3,1,−1)，则l⊥α
B. 向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
C. 向量a=(−3,−1,2)，b=(3,3,1)，c=(3,7,7)共面
D. 平面α的一个法向量为n=(1,2,2)，A(1,0,0)为α内的一点，则点P(3,1,1)到平面α的距离为2
11.直线l经过点(4,−3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. 3x+4y=0B. 4x+3y=0C. x−y−7=0D. x+y−1=0
12.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，P为AA1的中点，Q为A1C上的动点，则( )
A. 三棱锥Q−BDP的体积为16
B. 直线BC1，A1C所成角的余弦值为 1010
C. BQ+DQ的最小值为 303
D. 当B，C1，D，Q四点共面时，AQ⊥D1Q
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆x28+y29=1的短半轴长为______ ．
14.圆C：x2+y2−6x+4y−12=0关于直线l：x−y−1=0对称的圆的标准方程为______ ．
15.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是梯形，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB=AP=2，BC=2AD=2 2，∠ABC=45°，E为线段PB上一个动点，且BE=λBP，若PC与平面EAD所成的角为60°，则λ= ______ ．
16.过直线2x−y+3=0上一点P向圆C：x2+y2−4x+6y+9=0引切线，切点为M，则|PM|的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过P(0,2 3)，Q(− 6,0)；
(2)长轴长是焦距的3倍，且经过点(0,3)．
18.(本小题12分)
已知直线l1：(3a+1)x+(a−3)y+30=0，直线l2：(a−1)x+3y+9=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为(−5,0)，离心率e=35．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且MN的中点为P(−4,2)，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为正三角形，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC．
(1)证明：A1B/​/平面AC1D.
(2)若AB=AA1=2，二面角C1−AD−C的余弦值为2 77，求平面AC1D与平面ABB1A1夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C相交；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，Q为PB上一动点．
(1)当AQ⊥PB时，求Q到平面PAC的距离；
(2)求AQ与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题设，若直线l的倾斜角为θ且θ∈[0,π)，
则tanθ=2−11−2=−1，
所以θ=34π．
故选：D．
根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由椭圆方程知：a=4,c= 16−6= 10，
故离心率为ca= 104．
故选：B．
根据椭圆方程及离心率公式确定离心率即可．
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知：圆M的圆心：C1(1,−2)，半径：r1= 2，
圆N的圆心：C2(0,−1)，半径：r2=3，
两圆圆心距为：|C1C2|= 1+1= 20m−2>08−m≠m−2，解得208−m≠m−2，进而求解即可得到答案．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由a⋅n=(1,−1,2)⋅(3,1,−1)=3−1−2=0，故a⊥n，故l/​/α或l⊂α，故A错误；
对于B，由题设a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=93×13⋅(1,2,2)=(1,2,2)，故B正确；
对于C，若向量共面，则存在λ，μ∈R，使a=λb+μc，即(−3,−1,2)=(3λ+3μ,3λ+7μ,λ+7μ)，
∴3(λ+μ)=−33λ+7μ=−1λ+7μ=2，解得λ=−32μ=12，故C正确；
对于D，由题设AP=(2,1,1)，故点P(3,1,1)到平面α的距离为|n⋅AP|n||=63=2，故D正确．
故选：BCD．
应用向量数量积的坐标运算求a⋅n判断A；由投影向量的定义求a在b上的投影向量判断B；由向量共面定理有a=λb+μc，应用坐标运算列方程求参数判断C；由空间点与平面距离的向量求法求点面距判断D．
本题考查空间向量及其应用，训练了利用空间向量求点到平面的距离，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：若直线l过原点，则l在两坐标轴上的截距为0，满足题意，
此时直线斜率k=−34，方程为y=−34x，即3x+4y=0；
若直线l不过原点，当l在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，
则4a+−3a=1，解得a=1，此时方程为x+y−1=0；
当l在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa−ya=1，
则4a+3a=1，解得a=7，此时方程为x−y−7=0．
综上，直线l的方程为3x+4y=0或x+y−1=0或x−y−7=0．
故选：ACD．
分直线l过原点和不过原点讨论，当直线不过原点时，设出直线方程，代入点(4,−3)即可求解．
本题考查了直线的截距式方程的应用问题，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：以D为原点，DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建系如图，
则B(1,1,0)，P(1,0,1)，A1(1,0,2)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，D(0,0,0)，
∴DP=(1,0,1),DB=(1,1,0),A1C=(−1,1,−2),BC1=(−1,0,2),DA1=(1,0,2)，
设A1Q=tA1C=(−t,t,−2t)，则DQ=DA1+A1Q=(1−t,t,2−2t)，
设n=(x,y,z)为平面BDP的法向量，
则DP⋅n=x+z=0DB⋅n=x+y=0，取n=(1,−1,−1)，
∴点Q到平面BDP的距离d=|DQ⋅n||n|=|1−t−t−2+2t| 3= 33，
易知DP=DB=BP= 2，∴SΔDBP=12× 2× 2×sinπ3= 32，
∴VQ−DBP=13× 32× 33=16，∴A正确；
∵cs=BC1⋅A1C|BC1||A1C|=−3 6× 5=− 3010，
∴直线BC1，A1C所成角的余弦值为 3010，∴B错误；
由上可知，Q(1−t,t,2−2t)，
∴BQ+DG= t2+(t−1)2+4(1−t)2+ (t−1)2+t2+4(1−t)2=2 6t2−10t+5，
由二次函数性质可知，当t=56时，BQ+DQ有最小值，最小值为 303，∴C正确；
当B，C1，D，Q四点共面时，则有BQ=xBD+yBC1，
∵BQ=(−t,t−1,2−2t)，BD=(−1,−1,0)，BC1=(−1,0,2)，
∴(−t,t−1,2−2t)=x(−1,−1,0)+y(−1,0,2)，
即−x−y=−t−x=t−12y=2−2t，解得t=23，
此时Q为(13,23,23)，又A(1,0,0)，D1(0,0,2)，
∴AQ=(−23,23,23)，D1Q=(13,23,−43)，
∴AQ⋅D1Q=−23×13+23×23+23×(−43)=−23≠0，
∴AQ与D1Q不垂直，∴D错误．
故选：AC．
建系，利用向量法，向量夹角公式，向量垂直的性质，三棱锥的体积公式，即可分别求解．
本题考查三棱锥的体积问题，线线角的求解，距离的最值求解，属中档题．
13.【答案】2 2
【解析】解：由x28+y29=1，可得b2=8，
∴b=2 2，
∴椭圆的短半轴长为2 2．
故答案为：2 2．
由椭圆的标准方程可得解．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】(x+1)2+(y−2)2=25
【解析】解：由题设圆C：(x−3)2+(y+2)2=25，故C(3,−2)且半径为5，
设对称圆的圆心为(m,n)，
则(m+32,n−22)在x−y−1=0上，
且两圆心所在直线与已知直线垂直，
所以m+32−n−22−1=0且n+2m−3=−1，
可得m=−1，n=2，
显然，对称圆的半径也为5，
则所求圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=25．
故答案为：(x+1)2+(y−2)2=25．
根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果．
本题考查点关于直线的对称点的坐标的方法，属于基础题．
15.【答案】13
【解析】解：连接AC，因为：AB=2,BC=2 2,∠ABC=45°，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC= AB2+BC2−2AB⋅BCcs45°= 4+8−2×2×2 2× 22=2，
即有：AB2+AC2=BC2，所以：AB⊥AC，
以A点为原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，D(−1,1,0)，
所以：AD=(−1,−1,0),PC=(0,2,−2),BP=(−2,0,2),AB=(2,0,0)，
因为：BE=λBP=λ(−2,0,2)=(−2λ,0,2λ)，且0≤λ≤1,AE=AB+BE=(2−2λ,0,2λ)，
设平面EAD的一个法向量为：m=(x,y,z)，
则：m⋅AD=−x+y=0m⋅AE=(2−2λ)x+2λz=0，令：x=λ，得：m=(λ,λ,λ−1)，
所以得：sin60°=|cs|=|m⋅PC|m|⋅|PC|=22 2× 3λ2−2λ+1= 32，
解得：λ=13．
故答案为：13．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解．
本题考查空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．
16.【答案】4
【解析】解：圆C的方程可化为(x−2)2+(y+3)2=4，圆心C(2,−3)，半径r=2，
∵|PM|= |PC|2−r2= |PC|2−4，
∴求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．
|PC|的最小值为圆心C到直线2x−y+3=0的距离d=|4+3+3| 4+1=2 5．
∴|PM|min= 20−4=4．
故答案为：4．
|PM|= |PC|2−4，求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．
本题考查直线和圆相切的性质，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)令椭圆方程为x2m2+y2n2=1，则12n2=16m2=1⇒m2=6n2=12，
所以椭圆标准方程为y212+x26=1．
(2)由题设，2a=3×2c⇒a=3c，则b2=a2−c2=8c2，
若焦点在x轴上，令x29c2+y28c2=1，则98c2=1⇒c2=98，此时标准方程为x2818+y29=1；
若焦点在y轴上，令y29c2+x28c2=1，则99c2=1⇒c2=1，此时标准方程为y29+x28=1．
综上，椭圆方程为x2818+y29=1或y29+x28=1．
【解析】(1)设椭圆方程为x2m2+y2n2=1，将点代入列方程求参数，即得方程；
(2)由题设a=3c，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若l1//l2，则有3(3a+1)=(a−3)(a−1)，
即a2−13a=0，解得a=0或a=13，
当a=0时，l1：x−3y+30=0，l2：x−3y−9=0，满足l1//l2；
当a=13时，l1：4x+y+3=0，l2：4x+y+3=0，此时l1，l2重合，不满足．
综上，实数a的值为0．
(2)若l1⊥l2，则(3a+1)(a−1)+3(a−3)=0，
即3a2+a−10=0，解得a=53或a=−2．
所以，实数a的值为53或−2．
【解析】(1)根据直线平行的必要条件A1B2=A2B1求a，然后验证即可；
(2)根据直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0求解可得．
本题考查直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵a=5，又e=ca=35⇒c2a2=a2−b2a2=52−b252=925，得b2=16，
∴椭圆C的方程为x225+y216=1；
(2)∵直线l交椭圆C于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，且MN的中点为P(−4,2)，
x1225+y1216=1，x2225+y2216=1，
两式相减得，(x1−x2)(x1+x2)25=−(y1−y2)(y1+y2)16，
则y1−y2x1−x2=−16(x1+x2)25(y1+y2)=−16×(−8)25×4=3225，
故直线l的方程为y−2=3225(x+4)，即32x−25y+178=0．
【解析】(1)由已知可得a，再由椭圆离心率及隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，利用点差法可得MN所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出直线MN的方程．
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．
20.【答案】(1)证明：如图，

连接A1C与AC1相交于点E，连接ED，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，
∴E为A1C的中点，又D为BC的中点，
∴A1B//ED，又A1B⊄平面AC1D，ED⊂平面AC1D，
∴A1B/​/平面AC1D；
(2)解：平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C⋂平面ABC=BC
底面ABC为正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，
AD⊂平面ABC，则AD⊥平面BB1C1C，
CD，C1D⊂平面BB1C1C，CD⊥AD，C1D⊥AD，
则二面角C1−AD−C的平面角为∠C1DC，
△C1DC中，由余弦定理有CC12=C1D2+CD2−2C1D⋅CDcs∠C1DC，又cs∠C1DC=2 77，
即4=C1D2+1−4 77C1D，解得C1D= 7，
过C1作直线BC的垂线，垂足为F，
则DF=C1Dcs∠C1DC= 7×2 77=2，故F在BC的延长线上，
所以C1F= C1D2−DF2= 7−4= 3，
B1C1//DF，B1C1=DF，C1F⊥BC，四边形B1DFC1为矩形，则B1D⊥BC，
以D为原点，DC，DA，DB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(0, 3,0),B(−1,0,0),B1(0,0, 3),C1(2,0, 3)，
DA=(0, 3,0),DC1=(2,0, 3)，
设平面AC1D的一个法向量为n=(x,y,z)，则有n⋅DA= 3y=0n⋅DC1=2x+ 3z=0，
令x= 3，则y=0，z=−2，即n=( 3,0,−2)．
AB=(−1,− 3,0),BB1=(1,0, 3)，
设平面ABB1A1的一个法向量为m=(a,b,c)，则有m⋅AB=−a− 3b=0m⋅BB1=a+ 3c=0，
令a= 3，则b=−1，z=−1，即m=( 3,−1,−1)．
设平面AC1D与平面ABB1A1夹角为θ，
∴csθ=|cs|=|n⋅m|n|⋅|m||=|3+2 7× 5|= 357．
【解析】(1)E为A1C的中点，由三角形中位线证得A1B//ED，可证A1B/​/平面AC1D；
(2)由已知二面角证得B1D⊥BC，以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面AC1D与平面ABB1A1夹角的余弦值．
本题空间几何体中线面关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为直线l的方程可化为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0(m∈R)，
所以l过直线2x+y−7=0与x+y−4=0的交点M(3,1)．
又因为点M(3,1)到圆心C(1,2)的距离d0= (3−1)2+(1−2)2= 5