适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.2空间点直线平面之间的位置关系教师用书新人教A版必修第二册

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间两条直线的位置关系相交直线、__________、__________. 2.空间中直线与平面之间的位置关系直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行;其中______________、______________称为直线在平面外. 3.空间中两个平面的位置关系平面与平面平行、______________. 4.分别在两个平面内的直线是异面直线吗?5.异面直线的判定直线a⊂α,b∩α=A,A∉a⇒直线a,b是异面直线.【基础巩固组】一、单选题1.(教材改编题)已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则 (　　)A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉αC.P∉α,Q∉α D.Q∈α2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 (　　)A.2对 B.3对 C.6对 D.12对3.如图是一正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PQ的位置关系为 (　　)A.相交 B.平行 C.异面 D.重合4.下列说法中,正确的个数是 (　　)①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题5.如果点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面 (　　)A.可能有一个 B.恰有两个C.可能没有 D.有无数个6.在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数可能是 (　　)A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5三、填空题7.若一个平面内的一条直线与另一个平面相交,则这两个平面的位置关系是________. 8.如图,在过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线的条数为________. 四、解答题9.用符号语言描述图形中的直线、平面之间的位置关系.(1)(2)10.求证:与两条异面直线分别相交的两条直线不平行.【素养提升组】一、选择题1.在以下四个图中,直线a与直线b平行的位置关系只能是 (　　)2.平面α∥平面β,直线a∥α,则 (　　)A.a∥β B.a在面β上C.a与β相交 D.a∥β或a⊂β二、填空题3.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α的关系是__________. 4.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________. 三、解答题5.如图,已知不共面的直线a,b,c相交于O点,M,O是直线a上的两点,N,Q分别是直线b,c上的一点,求证:MN和PQ是异面直线.6.如图,已知平面α与平面β相交于直线m,直线n⊂β,且m∩n=A,直线l⊂α,且l∥m.证明:n,l是异面直线.8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识·落实1.平行直线　异面直线2.直线与平面相交　直线与平面平行3.平面与平面相交4.不一定,可能相交或者平行.知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也有可能P∉α.2.C　如图所示,在长方体中没有与体对角线平行的棱,要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线,只要去掉与AC1相交的六条棱,其余的都与体对角线异面,所以与AC1异面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,所以长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.3.C　根据题意,由正方体的表面展开图还原成正方体,如图,易得直线MN与PQ异面.4.C　易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.5.AC　当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,这样满足条件的平面没有;当点M不在上述两个平面内时,满足条件的平面只有一个.6.ABC　在一个正方体内任意画一条直线,可能有如图所示的四种情况,则分别对应每个图形找出其他平面内与这条直线异面的直线,第一幅图可找出与直线异面的有4条,第二幅图可找出与直线异面的有6条,第三幅图可找出与直线异面的有7条,第四幅图可找出与直线异面的有8条,不可能有5条.7.【解析】两平面有公共点,故两平面相交.答案:相交8.【解析】在过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线有A1D1,DD1,CD,A1B1,BC,BB1,B1D1,B1C,D1C,BD,A1D,A1B,共12条.答案:129.【解析】(1)m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m∥n∥l;(2)a⊂α,b⊂β,α∩β=l,a∩b=M.10.【证明】如图,a与b是两条异面直线,AB,CD分别与a,b相交,若A与C(或B与D)重合,则AB与CD相交,AB与CD不平行;若A与C,B与D均不重合,假设AB∥CD,则AB与CD共面α,因为A,C都在直线a上,B,D都在直线b上,则a,b都在平面α内,与a与b是异面直线矛盾,假设错误.综上,与两条异面直线分别相交的两条直线不平行.【素养提升组】1.D　选项A中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;选项B中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;选项C中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;选项D中,平面α,β内的两直线相交,两相交直线可以求得一个平面,则a与b相交或平行,由题图可知,a与b平行.2.D　如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β;如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β.3.【解析】当这两点在α的同侧时,l与α平行;当这两点在α的异侧时,l与α相交.答案:平行或相交4.【解析】根据题意,在①中,MG∥HN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形,有HG∥MN,不是异面直线;在②中,直线GH,MN既不平行也不相交,是异面直线;在③中,GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是异面直线;在④中,直线GH,MN既不平行也不相交,是异面直线.综合可得:②④正确.答案:②④5.【证明】方法一:(反证法)假设MN和PQ共面,设所确定的平面为α,那么点P,Q,M,N和O都在平面α内,所以直线a,b,c都在平面α内,这与已知a,b,c不共面矛盾,所以假设不成立,MN和PQ是异面直线.方法二:(直接证法)因为a∩c=O,所以a,c确定一个平面,设为α,由已知P∈平面α,Q∈平面α,所以PQ⊂平面α,又M∈平面α,且M∉PQ,N∉平面α,所以MN和PQ是异面直线.6.【证明】若n,l共面,设该平面为γ,因为A∈n,n⊂γ,所以A∈γ.又因为l⊂γ,所以平面γ经过点A和直线l,所以平面γ与α重合.由于α与γ重合,且m⊂γ,所以平面γ经过直线m和n.因为m与n是相交直线,所以γ与β也重合,于是α与β重合,这就与条件α∩β=m矛盾,故假设不成立.所以n,l是异面直线.