适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直教师用书新人教A版必修第二册

8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a,b所成的角等于　　　　　所成的角; (2)范围:　　　　　　　　. 2.两条异面直线互相垂直:两条异面直线所成的角是　　　　,记作a⊥b. 3.异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同?【基础巩固组】一、单选题1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,与棱AB垂直的棱有 (　　)A.2条 B.4条 C.6条 D.8条2.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (　　)A.30° B.45° C.60° D.90°3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是 (　　)A.60° B.75° C.90° D.105°二、多选题4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　)A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE⊥B1C1三、填空题5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为　　　　; (2)直线AB1和EF所成的角为　　　　. 6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为　　　　. 四、解答题7.如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AC=1,∠BAC=,A1A=4,点M为线段A1A的中点.(1)求直三棱柱A1B1C1-ABC的体积;(2)求异面直线BM与B1C1所成的角的余弦值.8.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.【素养提升组】一、选择题1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 (　　)A. B. C. D.2.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 (　　)A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定二、填空题3.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面是边长为a的菱形,∠BAD=60°,AA1=2a,则直线A1C1与B1C所成角的余弦值为　　　　. 4.已知正四棱锥P-ABCD,PA=2,AB=,M是侧棱PC的中点,且BM=,则异面直线PA与BM所成角为　　　　. 三、解答题5.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,求证:AB⊥CD.6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1⊥EF.8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直必备知识·落实1.(1)直线a',b'　(2)0°≤α≤90°2.直角3.相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点.知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,与棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8条.2.A　取AD的中点H,连接FH,EH,EH∥CD,FH∥AB,则在△EFH中∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°.3.C　设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=,B1C2=,AC2=,所以A=A+B1,则∠AB1C2=90°.4.CD　在A中,因为三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,所以B1E⊂平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,所以CC1与B1E是共面直线,故A错误;在B中,因为AE∩平面BCC1B1=E,CC1⊂平面BCC1B1,且E∉CC1,所以CC1与AE是异面直线,故B错误;在C中,因为AE∩平面BCC1B1=E,B1C1⊂平面BCC1B1,且E∉B1C1,所以AE与B1C1是异面直线,故C正确;在D中,因为AE⊥BC,BC∥B1C1,所以AE⊥B1C1,故D正确.5.【解析】如图.(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B(或其补角)即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.答案:45°(2)连接B1C,AC易得EF∥B1C,所以∠AB1C(或其补角)即为异面直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:60°6.【解析】如图,过点D作DF∥A1C1,交A1B1于点F,连接AF,则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角(或所成角的补角),因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,所以由题意知AD==2,DF==,AF==,所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为cos∠ADF===,所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为.答案:7.【解析】(1)因为S△ABC=×1×1=,所以V=·A1A=×4=2.(2)连接MC(图略).因为BC∥B1C1,所以∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角,在△MBC中,BM=CM=,BC=,由余弦定理得,cos∠MBC==.8.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以CD1⊥EF.【素养提升组】1.C　如图,连接BD1交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM.易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以AD1==2,DM==,DB1==,所以OM=AD1=1.OD=DB1=.于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.2.D　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AA1为l2,BB1为l3,取AD为l1,BC为l4,则l1∥l4;取AD为l1,AB为l4,则l1⊥l4;取AD为l1,A1B1为l4,则l1与l4异面,因此l1,l4的位置关系不确定.3.【解析】连接AC,AB1,因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1C1∥AC,所以∠ACB1是直线A1C1与B1C所成角(或所成角的补角).因为底面是边长为a的菱形,∠BAD=60°,所以AC==a,因为AA1=2a,所以AB1=CB1==a,所以cos∠ACB1==.故直线A1C1与B1C所成角的余弦值为.答案:4.【解析】如图,连接AC,BD交于点O,连接OM,由题意得OM∥PA,则∠OMB为异面直线PA与BM所成角.由O,M分别为AC,PC中点,得OM=PA=1.在Rt△AOB中,易得OB=AB·sin45°=1.又BM=,即OB2+OM2=BM2,所以△OMB为直角三角形,且∠OMB=45°.答案:45°5.【证明】如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF,EF.因为EO∥AB且=,所以=.因为AB=3,所以EO=2.又=,所以=,所以OF∥DC,所以OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角,因为DC=3,所以OF=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=()2=5,所以OE2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.6.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以异面直线CD1,EF所成的角为90°,即CD1⊥EF.