高考数学二轮专题复习——古典概型、频率与概率、随机事件的独立性、统计与概率的应用

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一、古典概型的判断
1、古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，
其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2、古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，
则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)，
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
二、频率与概率
1、频率的稳定性
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2、频率的求法
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，
频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率．
3、频率和概率区别和联系
区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
（2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量
（3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
三、相互独立事件
1、定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的
（2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.
3、用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
（1）用恰当的字母表示题中有关事件；
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
（4）利用乘法公式计算概率．
四、相互独立事件的概率计算公式
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
题型一古典概型的特征与判断
【例1】下列试验是古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
【变式1-2】下列有关古典概型的说法中，错误的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
【变式1-3】下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【变式1-4】下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式1-5】（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
题型二 古典概型的概率计算
【例2】现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为________________．
【变式2-2】已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为_____．
【变式2-3】一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为，掷第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为_____
【变式2-4】柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么
（1）写出试验的样本空间．
（2）求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．
题型三 有放回与无放回问题
【例3】袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为__________.
【变式3-1】已知箱子内有张大小相同的卡片，其中张金卡，张银卡，从中不放回地依次随机抽取张，求下列事件的概率
（1）“第二次抽到金卡”
（2）“至少抽到一次金卡”
【变式3-2】已知箱子里装有大小、质地完全相同的10张卡片，分别写有1~10．从箱子中任取1张卡片，记下它上面的数x，然后再放回箱子中；再从箱子中任取1张卡片，记下它上面的数y．
（1）求是10的倍数的概率；
（2）求是3的倍数的概率．
【变式3-3】从甲、乙两人中选一人参加“书画艺术节”的志愿者活动.选人规则：一口袋内装有3个红球，2个白球（球除了颜色不同之外，其他完全相同），从该口袋内随机取两次球，一次取出1个.若出现同色球，则甲去做志愿者，否则乙去做志愿者.方案一：放回式抽样法.方案二：不放回式抽样法.从公平的角度分析（甲、乙做志愿者的概率越接近越公平），采用哪个方案选择志愿者较合理，并给出合理的理由.
【变式3-4】一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球，其中红球3个，白球2个．
（1）若一次从盒中随机取出2个玻璃球，求至少取到一个白色球的概率；
（2）依次从盒中随机取球，每次取一个，取后不放回．当某种颜色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是红色玻璃球的概率．
题型四 辨析频率与概率的关系
【例4】下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【变式4-1】（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确
【变式4-2】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
【变式4-3】（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
【变式4-4】（多选）下列命题中正确的有（ ）
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
题型五 用频率估计概率
【例5】已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：


据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
【变式5-1】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间中，具体数据如下：
12 14 16 17 17
19 20 20 21 22
23 23 23 24 24
25 25 26 27 27
28 29 30 32 34
试估计这批棉花中长度小于20 mm的棉花纤维的占比．
【变式5-2】某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
（1）试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
（2）该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【变式5-3】某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示．
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
（2）估计顾客对该商场满意的概率．
（3）若该商场一天有2100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？
（4）通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由．
【变式5-4】某篮球运动员在最近几场大赛中投篮进球次数的统计结果如下：
（1）在表中直接填写进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次进球的概率约是多少？
题型六 事件相互独立的判断
【例6】下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球,“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
D．“人能活到20岁”，“人能活到50岁”
【变式6-1】袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，则与是（ ）
A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件
【变式6-2】下列A，为独立事件的是__________________（写出所有正确选项的序号）．
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
【变式6-3】现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
题型七 求独立事件的概率
【例7】甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．
【变式7-1】已知A，B是相互独立事件，且，，则 ________.
【变式7-2】甲、乙两人玩射击游戏，甲、乙射击命中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击，已知甲、乙两人射击一次命中的概率均为，且第一次由甲开始射击．
（1）求前3次射击中甲恰好命中2次的概率；
（2）求第4次由甲射击的概率．
【变式7-3】已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
（1）事件A，B，C只发生两个的概率；
（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．
【变式7-4】设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八 统计与概率的应用
【例8】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【变式8-1】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；
（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求的估计值；
【变式8-2】某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题:
（1）这种鱼卵的孵化率(孵化概率)是多少?
（2）30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
（3）要孵化5 000尾鱼苗,大概需要多少个鱼卵?(精确到百位)
【变式8-3】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若，则奖励玩具一个；
②若，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
【变式8-4】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
A，B中至少有一个发生
A，B中至多有一个发生
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
满意
不满意
男顾客
50
10
女顾客
50
30
投篮次数
8
10
12
9
10
16
15
13
进球次数
6
8
9
7
7
12
11
10
进球频率
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
出险次数
0
1
2
3
4
频数
60
50
30
30
20
10