人教版数学2023-2024学年九年级上册期末模拟押题卷 原卷+解析卷

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单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】题目主要考查主视图的作法，熟练掌握三视图的基本方法是解题关键．
【详解】解：从正面看，可得如图形，
故选：A．
2．一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程中项的系数确定二次项的系数即可．
【详解】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是．
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项的系数，正确识别二次项是解题的关键．
3．如图，在中，，则度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求圆周角的度数，掌握圆周角定理是解题的关键.即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
4．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
5．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（ ）
A．﹣12B．12C．﹣3D．3
【答案】A
【详解】∵反比例函数的图象经过点（2，﹣6），
∴，
解得k=﹣12．
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
6．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，，，，
则A、C、D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．求出根的判别式的值再进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程中，
，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
8．已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，正确理解方程的解的定义是解题的关键．
9．如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接，若，则的长度为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】D
【分析】连接，根据切线的定义得出，推出，根据勾股定理得出，进而得出，根据圆周角定理得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识点并熟练运用．
10．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
11．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若长，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，，与相切于点，，连接，根据切线长定理可得，，勾股定理求得，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，，与相切于点，，连接

∴，，
在中，
∴的长为
故选：C．
【点睛】本题考查弧长的计算，切线长定理，解答本题的关键是求出的长．
12．已知等边中，，若点P在线段上运动，当最小时，的长是（ ）
A．2B．3C．4D．2
【答案】C
【分析】过点P作于E，过点B作于F，根据等边三角形的性质可得：，从而可得，故的最小值为的最小值，根据垂线段最短的性质可判断即为的最小值，再根据所对的直角边是斜边的一半求解即可；
【详解】解：过点P作于E，过点B作于F，如下图所示，
∵等边等边中，，
∴，
∴，
∵在连接直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，
∴即为的最小值，
∴与的交点即为点P，
∵，
∴此时，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求线段和的最值问题和直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知，那么的值是 ．
【答案】
【分析】直接根据用同一未知数表示出各数，进而得出答案．
【详解】解:∵，
∴设，则，
那么．
故答案为:．
【点睛】此题主要考查了比例的性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．正确表示出x,y的值是解题关键．
14．现有四张正面分别标有数字，，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两次抽取的数字之和为正数的概率为 ．
【答案】/0.625
【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之和为正数的概率．
【详解】解：列树状图可得：
由树状图可得共有种等可能结果，其中两次数字之和为正数的有种，故概率为：，
故答案为：．
15．如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ．
【答案】/10米
【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可．
【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键．
16．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．

【答案】3
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值．
【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：，
∴，
∴，
反比例函数图象在一、三象限，
，
．
故答案为：3．
17．如图，已知矩形边上有一点，且，是线段上的一点（不与点、重合），是线段延长线上的一点，且，连结交于点，过点作于点，若，，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理和等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，通过证三角形全等，将求线段长转化为求的长，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】
解：如上图所示，取，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，且，
，，
，
，
．
故答案为：．
18．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
【答案】①③④
【分析】根据二次函数的性质结合图表信息，逐一分析即可．
【详解】根据图表，当=-2，=0，根据抛物线的对称性，当=3时，=0，即抛物线与轴的交点为（-2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线==，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当=时，函数有最大值，而不是=0，或1对应的函数值6，
并且在直线=的左侧，随增大而增大．所以①③④正确，②错
故答案为：①③④．
三、解答题（本题共8小题，共72分．第19-20题每题6分，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：.
【答案】
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．
20．解方程：.
【答案】，.
【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】
∴或
∴，
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
21．如图，是的直径，点C在上．

(1)尺规作图：过点C作的垂线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为5．
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
（2）先根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了复杂作图，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握勾股定理及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生知识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，单位：分，共分成四组：A：80≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99；
八年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
请根据相关信息，回答以下问题：
(1)直接写出表格中a，b的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有1600人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是多少．
【答案】(1)a92.5，b＝89，图见解析
(2)八年级学生掌握防火安全知识较好，理由见解析
(3)560
【分析】（1）直接根据七年级抽取的10名学生的竞赛成绩可得其众数b的值，将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩重新排列，利用中位数的概念可得a的值，继而补全频数分布直方图可得答案．
（2）在平均成绩相等的前提下可比较中位数、众数或方差，合理即可得．
（3）用总人数乘以样本中成绩不低于95分人数占被调查人数的比例即可得．
【详解】（1）解：由题意知：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中89出现的次数最多，
因此七年级抽取的10名学生的成绩的众数b＝89，
将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩重新排列为80，83，85，90，92，93，93，95，99，100，
其中第第五位和第六位的成绩分别为：92和93，
因此其中位数，
补全频数分布直方图如下：
（2）八年级学生掌握防火安全知识较好，理由如下：
∵七、八年级参加竞赛的10名学生的平均成绩相等，但八年级10名学生成绩的方差小，
∴八年级参加竞赛的10名学生的成绩更加稳定，
∴八年级学生掌握防火安全知识较好．
（3）根据抽取的20名学生成绩中，成绩非常优秀（x≥95）的学生有（人），
因此估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩非常优秀（x≥95）的学生人数是560人．
【点睛】本题考出来直方图的应用，用样本评估总体，用方差判断数据的稳定性及求众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义，用样本评估总体及用方差判断数据的稳定性是解题的关键．
23．如图，反比例函数 的图象与矩形的边相交于D、E两点，且,一次函数经过D、E两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的有关计算．解题关键是熟练掌握利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式．
（1）把点E坐标代入反比例函数求出k，就能求出反比例函数的解析式;然后根据已知条件，求出，，进而求出点D的坐标，最后把D，E两点坐标代入一次函数中得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可．
（2）根据（1）中求出和，在根据四边形是矩形，求出，然后利用直角三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】（1）解：（1）把点，代入反比例函数，
反比例函数的解析式为：，
反比例函数 的图象与矩形的边相交于D，E，
，
，
，
，
，
，
点横坐标为，
设D点纵坐标为m，
把点代入，
，
，
把点和点代入得
，
解得：，
一次函数的解析式为：
（2）由（1）得，
四边形是矩形，
=
=
24．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】(1)灯泡离地面的高度为
(2)横向影子，的长度和为
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．在中，是边上的中线，过点C作的垂线交的延长线于点E，于点F．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)过点A作交的延长线于点G，连结，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，等量代换，即可证明，即平分；
（2）证明可得，根据中线的定义即可证明，从而得证；
（3）根据题意，可得，根据正弦的定义求得，同方法求得，勾股定理求得，进而勾股定理求得的长．
【详解】（1）
是边上的中线，
即平分；
（2），
又
是边上的中线，
（3）如图，
中，
中，
中，
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
26．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，顶点为F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点坐标；
(3)如图2，在图1的基础上，正方形四个顶点的坐标分别为，，，，是y轴上任意一点，直线垂直于轴，以为对称轴，作抛物线位于直线下方部分的轴对称图形，若新图形与正方形有两个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）分别把点与点的坐标代入抛物线解析式中，求出、的值即可求出抛物线解析式；
（2）先求出抛物线顶点的坐标，连接，作线段的垂直平分线，的垂直平分线与抛物线对称轴的交点坐标就是点坐标，求出的中点坐标和垂直平分线与轴交点坐标，求出表示垂直平分线的解析式，再求出其与抛物线对称轴的交点坐标就是点；
（3）设原抛物线顶点的轴对称图形的对称点为，当在和之间以及新图形正好经过、两点时，新图形与正方形有两个交点，据此求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点和点分别代入抛物线中，得：
解得：
抛物线解析式为：；
（2）解：
，
如图，连接，作线段的垂直平分线交于、轴于，过点作轴于，

，
，
在中，
，
，，
，
即
解得：
即
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式为：
将代入
解得：
（3）设抛物线顶点的轴对称图形的对应点为，

①当点刚好在线段上时，
的对称轴为，顶点，，，
点在对称轴上，
的中点在上，
②当点刚好在线段上时，
当时，新图形与正方形有两个交点；
③当点在的上方且、两点都在抛物线上时，新图形与正方形有两个交点，
∵抛物线与x轴的两个交点的距离恰好等于1，则
综上所述，当或时，新图形与正方形有两个交点．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，熟练掌握分类讨论思想是解决问题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89.5
b
45.2
八年级
91
a
93
39.2