北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为对数函数为增函数，当时，，即，
又，因此，.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.
【详解】因为命题“，”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，
所以命题“，”的否定是“，”
故选：A
3. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A. yB. y＝3x﹣3﹣xC. y＝tanxD. y
【答案】B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.
对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.
对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.
对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.
综上所述，符合题意的是B选项.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.
【详解】，，，
，
故选：A．
5. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的单调性排除A D；根据排除C.
【详解】因为，
所以函数在上递减，在上递增，故排除A D；
因为，，所以，所以函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故排除C.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不符合的选型进行求解是解题关键.
6. 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分函数在R上的单调递减和单调递增求解.
【详解】当函数是R上的单调递减函数，
所以，解得，
因为且，
所以当时，不可能是增函数，
所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，
故选：B
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分.在每小题有多项符合题目要求）
7. 函数的最小正周期为，，下列说法正确的是（ ）
A. 的一个零点为B. 是偶函数
C. 在区间上单调递增D. 的一条对称轴为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用周期公式可求，由恒成立，结合的范围，可求，求得函数的解析式，比较各个选项即可得答案.
【详解】由函数的最小正周期为，
得，得，
又，
，
即，
得，
故，
因为，
故选项A正确；
又，
故选项B正确；
当，
所以在区间不单调；
故选项C不正确；
由，
故选项D正确；
故选：ABD.
8. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ）
A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有八个解D. 方程有且仅有一个解
【答案】ABD
【解析】
【分析】
通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.
【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；
当时，方程只有两解；当时，方程有三解；
对于方程，当时，方程只有唯一解.
对于A选项，令，则方程有三个根，，，
方程、、均只有一解，
所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；
对于B选项，令，方程只有一解，
方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；
对于C选项，设，方程有三个根，，，
方程有三解，方程有三解，方程有三解，
所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；
对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，
所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
9. 函数的定义域为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】解：由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：
10. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，
可得的图象，再向左平移个单位，
所得图象的解析式为，
即.
故答案为：
11. 若的终边过点，则_________．________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
由三角函数的定义可得，利用诱导公式和同角公式化简后，代入可求得结果.
【详解】因为的终边过点，由三角函数的定义可得，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：利用三角函数的定义和诱导公式求解是解题关键.
12. 设函数，若，则实数________，________．
【答案】 ① . ②. .
【解析】
【分析】
代入分段函数求解的值，然后再求和的值.
【详解】，所以，；，
所以
故答案为：；.
13. 已知函数，方程有两个实数解，则的范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，
作出直线与函数的图象如下图所示：
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或，；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出；
(2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围.
【详解】解：（1）由题可知，当时，则，
或，
则，
所以
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，
解得：或；
综上所得：或.
【点睛】结论点睛：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．
15. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】(1)；(2) ;(3).
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正切公式求解即可；
(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；
(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】(1)
(2)
(3)
16. 函数是R上的奇函数，a，b是常数．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数k范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数是R上的奇函数，由求解.
（2）由（1）知，先利用单调性的定义证明是R上的增函数，
再结合奇偶性，将不等式对任意实数x恒成立，转化为不等式对任意实数x恒成立求解.
【详解】（1）因为函数是R上的奇函数，
所以 ，
解得
（2）由（1）知，
设，且，
则，
因为，
所以，
又，
所以，即，
所以是R上的增函数，
因为不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
令，
令 ，
则由对勾函数的性质得：
即的最小值为，
所以.
所以实数k的范围是.
【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则；；
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.