广东省东莞市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份广东省东莞市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
∴命题“，”的否定为“，”，
故选：C
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：A.
3. 已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，阴影部分集合为 ，由此能求出结果.
【详解】因集合，集合，
所以，由图可知：阴影部分表示的集合为，
故选：.
4. 下列四组函数，表示同一个函数的一组是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数相等的概念和函数的性质逐项检验即可求解.
【详解】对于，因为函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域也为，二者定义域相同，对应法则不同，所以与不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域也为，二者的定义域相同，对应法则相同，所以与是同一个函数，故选项正确，
故选：.
5. 记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出图像，由题意分析得，
利用已知条件求解出化简即可.
【详解】如图所示：
由题意得分针每分钟转rad，
则分钟后转了rad，
则点到轴的距离与时间t的关系可设为：
，
当时，点在钟表的12点处，此时，
所以，
所以可以取，
此时，
故选：D.
6. “”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.
【详解】在单调递增，充分性成立，
若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.
故选：A
7. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）．当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（ ）
A 52%B. 42%C. 32%D. 22%
【答案】B
【解析】
【分析】质量比提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.
【详解】当质量比为2000时，最大速度，
当质量比为50000时，最大速度，
，，
所以将质量比从2000提升至50000，则大约增加了.
故选：B
8. 已知定义在上的函数满足①；②，则函数与的图象在区间［－3，3]上的交点个数为（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】根据①②可知：函数是周期为的函数且在上，然后分别画出和在区间上的图象，由图象即可观察交点的个数.
【详解】由①②可知：函数是周期为的函数且在上，
在同一坐标系内分别作出函数和在区间上的图象，如图所示：
由图可知：函数和在区间上有个交点，
故选：.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A，由，若，则，故A错误，
选项B，在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变，
所以若，，则，故B正确，
取，，
则，故C错误，
因为，
若，则，所以，故D正确，
故选：BD.
10. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由不等式的性质和函数的单调性，比较大小.
【详解】，∴，A选项正确；
，B选项正确；
，，由，得，即，C选项错误；
，D选项正确.
故选：ABD
11. 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A. 的值域是
B.
C. 是偶函数
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值即可
【详解】由函数，
当为有理数时，函数值为1，
当为无理数时，函数值为0，
所以函数的值域是，故A错误，
由函数的值域是知道，，
所以，故B正确，
当，则，所以，
当，则，所以，
又的定义域为，故是偶函数，所以C正确，
由，所以，所以，
，所以，所以，
所以，故D错误，
故选：BC.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图像关于中心对称B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.
【详解】，函数定义域为，
，所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即的图像关于中心对称，A选项正确；
，不是的周期，B选项错误；
当时，，所以在区间上单调递增，C选项正确；
当时，，，有，
当时，，，有，
所以的值域为，D选项错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 函数f(x)＝＋的定义域为____________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.
14. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】平方可推得，根据二倍角的正弦公式即可得到结果.
【详解】由已知可得，，
即，
又，
所以，所以.
故答案为：.
15. 已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．
【答案】－4
【解析】
【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.
【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为，
所以，
所以，
故答案为：
16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．
【答案】1440
【解析】
【分析】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值.
【详解】设 长为 , 则 ,
即
,
所以
.
当且仅当 ,
即 时, 等号成立,
所以当 时, 取最小值为1440 .
故答案为：1440.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知集合， ，
（1）求A，B；
（2），，．
【答案】（1）或，
（2），或，
【解析】
【分析】（1）解出集合A中的不等式和集合B中的函数值域，即可得到集合A，B；
（2）由（1）中的结论，直接进行集合的交并补运算.
【小问1详解】
由，得，解得或，所以或，
由，得，所以，
【小问2详解】
由（1）得，
或，
，
18. 已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式和诱导公式即可求解；
(2)根据同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以．
19. 已知函数．
（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明．
【答案】（1）
（2）
（3）函数F（x）是奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据指数对数相互转化即可求解；（2）根据对数函数性质以及定义域和单调性即可求解；（3）根据函数的奇偶性的证法即可求解.
【小问1详解】
由，，得，，
所以．
【小问2详解】
由题得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以不等的解集为．
【小问3详解】
是奇函数，
由题得，
所以x<－1或x>1，
所以F（x）定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数F（x）是奇函数．
20. 已知函数．
（1）求的单调递减区问；
（2）若在区间上的最大值为，求使成立的的取值集合．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）降幂，辅助角公式化成，根据正弦函数单调性求解.
（2）根据范围求出的范围，再求函数的最大值，可确定的值，然后解不等式.
【小问1详解】
由公式得
，
所以，
即，
所以f（x）的单调减区间为，．
【小问2详解】
当时，，
所以当，即时，，
解得，
所以，
由，得，
所以，，
所以解集为：
21. 已知函数是定义在上奇函数，当时，．
（1）求的值；
（2）求在上的解析式；
（3）若函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由求得.
（2）根据的奇偶性求得的解析式.
（3）由分离常数，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得的取值范围.
【小问1详解】
由于函数是定义在上的奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，当时，，
所以，
所以
【小问3详解】
函数有零点等价于方程有根，
分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，
所以求k的范围，即求函数的值域，
记，即，
①当时，显然在上单调递减，所以，
所以时，，
②当时，令，则，
记，，
因为对称轴，所以在上单调递增，
所以，即，
所以时，，
综上所述，的值域为，
所以当时，函数有零点．
22. 如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．
（1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；
（2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）求出、的值，利用两角差的正切公式可求得的值；
（2）作，垂足为，设，计算出、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：由题知，，，则，
在中，，
在中，，
所以
．
【小问2详解】
解：如图，作，垂足为，
设，则，，
因为，所以，，
在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，最大，
所以当米时，射门角度最大．