2023-2024学年湖北省咸宁市崇阳县高一上学期12月月考数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省咸宁市崇阳县高一上学期12月月考数学质量检测模拟试题（含解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )
A．B．
C．D．
6．若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．或D．或
7．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若将有限集合的元素个数记为，对于集合，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．存在实数，使得
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
10．下列命题正确的有（ ）.
A．定义域为，则的定义域为
B．是上的奇函数
C．若不等式的解集为或，则
D．函数在上为增函数
11．设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最大值D．
12．已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为 .
14．已知，，则a，b表示 ．
15．已知函数且.若的值域为，则的取值范围为 .
16．已知函数，则关于的不等式的解集为 .
四､解答题：本题共6大题，共70分.
17．求下列各式的值：
(1).
(2).
18．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．已知幂函数，且在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
20．屠呦呦，第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家，在2015年获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素.这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，从青蒿中提取的青蒿素抗疟性超强，几乎达到100%.据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
(Ⅰ)写出服药一次后y与t之间的函数关系式；
(Ⅱ)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
21．已知对数函数的图象经过点.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的反函数为，，求在上的最大值和最小值.
22．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
1．D
【分析】计算出集合后，运用交集性质运算即可得.
【详解】由，解得，即，
又，则.
故选：D.
2．D
【分析】指数函数增长最快，得到答案.
【详解】ABCD分别为一次函数，常函数，对数函数，指数函数，底数大于，
增长最快的是指数函数.
故选：D
3．D
【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.
【详解】易判断在递增，.
由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.
故选:D.
4．B
【分析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】，且，故，，
故.
故选：B
5．A
【分析】分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及对称轴在轴的哪一侧即可求解.
【详解】若，则函数在上单调递减，
又函数的图象开口向下，
对称轴为直线，则对称轴在轴左侧，故CD错误；
若，则函数在上单调递增，
又函数的图象开口向上，
且对称轴为直线，则对称轴在轴右侧，故B错误，A正确.
故选:A.
6．A
【分析】利用函数为偶函数将所求不等式变形为，利用该函数在区间上的单调性可得出，解此不等式即可得解.
【详解】由于函数为偶函数，则，
且函数在上为增函数，由，可得，
，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.
7．A
【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.
【详解】由题设易知，且，设，
则函数开口向上且对称轴为，
所以在上单调递增，为增函数，
所以．
要使在上单调递增，则，即，
所以，要使对恒成立，
分离参数可得，，因为，当且仅当时取等号，但，所以所以．
综上，．
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
8．C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再对分类讨论求出集合，最后根据所给对于及集合的运算一一分析即可.
【详解】解：由，即，解得，
所以，
对于A：当时，即，解得，
所以，
所以，，所以，故A错误；
由，即，
当时解得，当时解得，当时解得，
即当时，当时，当时，
对于B：若，
若则，则，此时，
若则，则，此时，综上可得或，故B错误；
对于C：若，当时显然满足，当时则，解得，
当时则，解得，
综上可得，故C正确；
对于D：因为，，若，则，
此时，即，则，与矛盾，故D错误；
故选：C
9．BCD
【分析】根据函数的定义域和解析式依次判断每个选项即可.
【详解】对选项A：定义域为，的定义域为，不是同一函数；
对选项B：定义域为，的定义域为，
，是同一函数；
对选项C：定义域为，，定义域为，是同一函数；
对选项D：，定义域为，，定义域为，
是同一函数；
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据抽象函数定义域计算A正确，，B错误，根据不等式与方程的关系得到C正确，根据对勾函数性质知D正确，得到答案.
【详解】对选项A：的定义域满足，解得，正确；
对选项B：，，错误；
对选项C：根据不等式的解集，解得，，正确；
对选项D：根据对勾函数性质知数在上为增函数，正确；
故选：ACD
11．ACD
【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到.
【详解】A选项，由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，即最大值为，B错误；
C选项，，
由B选项得，，故，
故，当且仅当时，等号成立，
有最大值，C正确；
D选项，因为，所以，其中，
故
，
当时，等号成立，故，D正确.
故选：ACD
12．ACD
【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结合对数函数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.
【详解】画出函数的图像如下：
要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，
转化为函数的图象与有四个不同的交点，
由图象，得，故A正确；
当时，，则，故C正确；
当时，令，即，解得，
，故B错误；
∵，，
∴，即，则，
又，，
∵，∴，故D正确，
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.
13．
【分析】因对数函数恒过点，令，求出，再将所求值代入表达式求，即可求出定点坐标.
【详解】令，得.又，所以的图象经过定点.
故答案为：
14．
【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可.
【详解】由，得，
则.
故答案为：.
15．
【分析】考虑和两种情况，根据值域得到，解得答案.
【详解】当时，值域为，满足条件；
当时，的值域为，则，解得；
综上所述：.
故答案为：
16．
【分析】构造，确定函数为奇函数和增函数，变换，得到，解得答案.
【详解】设，函数定义域为，
则
，
故函数为奇函数，
，在上单调递增，
故在上单调递增，
，
，即，
即，即，解得.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则直接计算即可.
（2）根据指数幂的运算法则直接计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域确定，，再计算并集即可.
（2）确定是的子集，考虑和两种情况，根据集合的包含关系计算得到答案.
【详解】（1）因为，故，所以，
当时，集合，故.
（2）若，则是的子集，因为
当时，，解得，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：，故的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可；
（2）利用幂函数的单调性去掉，结合函数定义域列不等式求解即可.
【详解】（1）由已知得，
解得或，
当时，，当时，，
∵在上为增函数，
∴；
（2）由（1）得的定义域为，且在上为增函数，
∴，
解得，
所以的取值范围为.
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）由题意，根据一次函数和指数函数的解析式，结合图象，即可得到函数的解析式；
（Ⅱ）当时，求得，当时，求得，即可得到服药一次后治疗有效的时间，得到答案．
【详解】（Ⅰ）由题意，可得当时，函数满足，当时，函数满足，
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）由
，所以
服药一次后治疗有效时间是小时．
【点睛】本题主要考查了利用图象求解函数的解析式，以及函数的应用问题，其中解答中根据函数的图象，准确求解函数的解析式，在根据函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于基础题．
21．(1)
(2)，
【分析】（1）由待定系数法求出，解对数不等式即可.
（2）运用换元法将问题转化为求，的最值即可.
【详解】（1）设（且），则，
所以，
所以，
由可得，即，
即，解得.
所以不等式的解集为.
（2）依题知，，故，
令，则，
又因为，所以，所以，
即，，
所以当时，；
当时，.
所以在上的最大值为3，最小值为.
22．(1)；
(2)在和上单调递减；证明见解析；
(3)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.