2023-2024学年青海省西宁市湟中区高二上学期第一次月考数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年青海省西宁市湟中区高二上学期第一次月考数学模拟试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．，若∥，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（ ）
A．4B．
C．5D．
5．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A．3B．1C．－3D．－1
6．如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在平行六面体中，，，则（ ）
A．2B．C．D．1
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于原点O的对称点的坐标为
B．点关于x轴的对称点的坐标为
C．点关于平面对称的点的坐标是
D．两点间的距离为3
10．在长方体中，，与交于点P，以D为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为B．点P的坐标为
C．D．
11．下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
12．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若三点共线，则a＝ ．
14．直线过点，且斜率为2，则实数的值为 ．
15．已知，那么与夹角的余弦值为 ．
16．若，，点P在x轴上，且，则点P的坐标为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知直线过点.
(1)当为何值时，直线的斜率是?
(2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量．
18．设，.
(1)若，求；
(2)若，求.
19．如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
(3)判断与是否垂直．
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
21．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在长方体中，，，点在线段上.

(1)求D到的距离；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
1．B
【分析】由空间向量的坐标运算逐一判断．
【详解】对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选：B
2．A
【分析】根据空间向量的平行关系，列出方程组，解出的值，即可得答案.
【详解】解：因为，解得，
所以.
故选：A.
3．A
【分析】进行空间向量的坐标运算即可.
【详解】，，，
．
故选：A．
4．D
【分析】根据两平面垂直得到两法向量垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】∵，∴，
∴，解得.
故选：D
5．C
【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以与垂直，
故，解得.
故选：C
6．D
【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，再转化成指定的基底中的向量，得到结果.
【详解】在平行六面体中，，
所以
故选：D.
7．C
【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.
【详解】由题意，则，所以，
所以，
故选：C.
8．A
【分析】选择基底，利用基底表示出向量，结合向量运算求解模长.
【详解】由题意，，两边平方可得
；
所以.
故选：A.
9．ACD
【分析】利用空间直角坐标系的对称关系判断A，B，C；利用两点间距离公式计算判断D.
【详解】点关于原点O的对称点的坐标为，A正确；
点关于x轴的对称点的坐标为，B错误；
点关于平面对称的点的坐标是，C正确；
两点间的距离为，D正确.
故选：ACD
10．AB
【分析】根据空间向量的坐标即可结合选项逐一求解.
【详解】由题意可得，,,，,,
所以,,故CD错误，AB正确，
故选：AB

11．ABD
【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；
对于C，，故，可得l在α内或，C错误；
对于D，，易知，故，故，D正确.
故选：ABD.
12．AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
13．4
【分析】利用斜率相等建立方程即可求解.
【详解】三点共线，则，即＝，即，∴.
故答案为：4.
14．3
【分析】利用斜率公式列方程求解即可.
【详解】根据题意，直线过点，则其斜率，解得．
故答案为：3.
15．##
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
所以与夹角的余弦值为.
故答案为：.
16．
【分析】根据空间中两点间距离即可求解.
【详解】设，由可得，
解得，
所以，
故答案为：
17．(1)
(2)，此时直线的一个方向向量为
【分析】（1）根据两点求斜率的公式列方程，从而求得.
（2）根据倾斜角为列方程求得，再根据方向向量的知识求得直线的一个方向向量.
【详解】（1）由，解得，
所以当时，直线的斜率是.
（2）若直线的倾斜角为，则，
此时直线的方程为，与轴平行，
所以直线的一个方向向量为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可求得实数的值；
（2）分析可知，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，
则，
，
若，则，解得.
（2）解：若，
则，解得.
19．(1)
(2)
(3)垂直
【分析】（1）利用数量积的公式可得；
（2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值.
（3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直．
【详解】（1）正方体中，，
故.
（2）由题意知，，
，
，
故，
故 .
（3）由题意， ，
，
故与垂直.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）由（1）中信息，以点A作原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.
【详解】（1）在四边形中，，取中点，连接，
由，得，则四边形是平行四边形，又，
因此是矩形，即有，有，，
从而，即，而平面，平面，则，
又平面，于是平面，而平面，
所以.

（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
依题意，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设平面的一个法向量，则，令，得，
因此，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接D1C交DC1于点O，先证明OE∥D1B，再由线面平行判定定理可证明；
（2）由题意可证明 DE⊥BC，CC1⊥DE，即可证明DE⊥平面B1BCC1，再由面面垂直的判定定理即可证明
（3）在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,可证明CP⊥平面DEC1, 所以∠CC1P是直线CC1与平面DEC1所成角，求出，代入sin∠PC1C，即可得出答案.
【详解】（1）因为：连接D1C交DC1于点O，则O为D1C中点,
点E为CD中点 ∴OE∥D1B.
∵OE在平面C1DE内，D1B⊄平面C1DE.
直线BD1∥平面C1DE.
（2）∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点. ∴DE⊥BC,
∵CC1⊥平面ABCD 且DE在平面ABCD内,
∴CC1⊥DE,
∵CC1在平面B1BCC1内，CB在平面B1BCC1中且CC1∩BC＝C
∴DE⊥平面B1BCC1,
∵DE在平面DEC1内∴平面DEC1⊥B1BCC1
（3）
平面DEC1⊥B1BCC1且交线为C1E，CP⊆平面B1BCC1
在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,
∴CP⊥平面DEC1,
∴∠CC1P是直线CC1与平面DEC1所成角，
在Rt△C1EC中，CC1＝AA1＝2，CE＝1
∴C1E＝，∴sin∠PC1C.
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）连接，求出等腰三角形腰上的高即可作答.
（2）以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的大小作答.
（3）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的范围可求得的值，即可得解.
【详解】（1）在长方体中，，，连接，
由，得，而，
则等腰的腰上的高即为点D到的距离，底边上的高，
由，得，
所以点D到的距离为.
（2）依题意，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
设直线与平面所成角为为，
而，则，
因为，所以直线与平面所成角为.
（3）设点，其中，
设平面的法向量为，则，，
则，令，得，
显然平面的一个法向量为，
由，而，解得，
所以平面与平面所成角的余弦值为时，线段的长为.