思想01 运用分类讨论的思想方法解题（精讲精练）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
核心考点二：由定义引起的分类讨论
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【方法技巧与总结】
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
【核心考点】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【典型例题】
例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有其中个选项符合题目要求，随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量其中，则有（ ）
A．B．
C．D．
例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；
第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为；丙与丁比赛，丙的胜率为任意两场比赛之间均相互独立．
求丙在第二轮被淘汰的概率；
在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
已知，求；
设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
根据你的理解说明问结论的实际含义．
核心考点二：由定义引起的分类讨论
【典型例题】
例4．已知数列满足
求数列的通项公式；
求数列的前n项和
例5．设数列的前n项和为，且满足
求数列的通项公式；
若求数列的前15项的和．
例6．已知正项数列的前n项和为，如果都有，数列满足，数列满足，设为的前n项和，则当取得最大值时，n的值等于（ ）
A．17B．18C．19D．20
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例7．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，
求角
若AC边上的点D满足，，求的面积．
例8．若恰有三组不全为0的实数对、满足关系式，则实数t的所有可能的值为__________．
例9．过双曲线C：的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点已知O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为__________．
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
【典型例题】
例10．已知函数为的导函数．
求证：在上存在唯一零点；
求证：有且仅有两个不同的零点．
例11．已知函数的图像经过点．
确定a的值，并讨论函数的极值点：
设，若当时，，求实数m的取值范围．
例12．已知函数是自然对数的底数
若，求的单调区间；
若，试讨论在上的零点个数．参考数据：
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例13．正方体棱长为2，动点P在线段上含端点，以下结论不正确的为（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过P，B，三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点P和重合时，三棱锥的外接球体积为
D．直线PD与面所成角的正弦值的范围为
例14．两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使，且已知，，，则线段AB的长为（ ）
A．8B．C．D．
例15．（多选题）如图，在三棱锥中，平面为垂足点，F为BD中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值
C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值
D．若CD的长为定值，则的值也为定值
【新题速递】
一、单选题
1．已知为奇函数，且在上是递增的，若，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．已知函数若存在，，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
4．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．D． 或
二、多选题
6．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．D．R
7．，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
9．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有
A．B．当时，取得最小值
C．当时，n的最小值为7D．当时，取得最小值
10．在棱长为1的正方体中，M是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积恒为定值
B．直线与平面所成角正弦值可以为
C．异面直线BM与AC所成角的范围是
D．当时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
11．已知函数若，则实数a的值可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．定义新运算“”，满足对任意的，有若对，恒成立，则实数m的取值范围是__________．
13．已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是__________．
14．在等比数列中，，，则公比__________．
15．若是定义在R上的奇函数，当时，为常数，则当时__________．
16．设抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，点M满足为坐标原点，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则点P的横坐标为__________，__________．
17．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是__________．