初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形综合训练题

这是一份初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形综合训练题，共17页。

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．32.5°D．35°
2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA＝BE，则∠ADB的大小为（ ）
A．35°B．30°C．40°D．45°
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）
A．1+B．1+2C．2+2D．2+
8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
二．填空题
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为 ．
10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．
12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．
13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．
14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．
15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．
17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．
18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．
19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．
20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．
三．解答题
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．
（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD＝AC．
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．
（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；
（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝30°，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝120°，
∵∠BED＝∠C+∠CBE，
∴∠BED＞120°，
∴∠BED可能为125°．
故选：D．
6．解：如图，连接AC，
由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵点E为的中点，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°．
故选：C．
7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，
∴AC＝2，
∵CN＝DN，DM＝AM，
∴MN＝AC＝，
∵CP＝PB，CN＝DN，
∴PN＝BD，
当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，
∴PM+MN的最大值为2+．
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠FBC，
∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，
∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，
则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，
解得，∠A＝55°，
故选：D．
二．填空题
9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝115°，
∴∠BAD＝65°，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EBD＝∠DAE＝25°．
故答案为：25°．
10．解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EAB+∠DCB＝180°，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴∠EAB＝∠ECD＝75°，
∵∠ECD是△FCB的外角，
∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，
故答案为：50°．
12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，
∴∠ADC＝∠AOC＝2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
即2x+3x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AOC＝4x＝144°，
∴则的长为＝，
故答案为：．
13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴当CD是直径时，CD达到最大值，
连接OA，OB，
∵OA＝OD，∠ADC＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB和△BOC都是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∴CD＝2OC＝6，
故答案为：6．
14．解：如图所示，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴DF＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
则，
解得：，
故答案为：110°．
16．解：∵＝，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45．
17．解：连接BE，
∵AB＝AE．∠A＝100°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠CDE+∠CBE＝180°，
∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，
故答案为：220．
18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠B＝3x＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，
故答案为：90°．
19．解：∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3．
20．解：连接BD，
∵，
∴AB＝AD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∵∠BED＝150°，
∴∠AEB＝120°，
在△ABE与△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝2CE，
∵AC＝，
∴AE＝2，CE＝，
∴CD＝AE＝2，
∴DE＝＝，
故答案为：．
三．解答题
21．（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝cm；
（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，
则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴E点在CD的延长线上，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴CE＝AC，
而CE＝CD+DE＝CD+CB，
∴BC+CD＝AC．
22．证明：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．解：（1）∵
∴∠DCF＝∠BAC＝25°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，
又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，
连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，
∵，
∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，OM⊥AC，
∴，∠AOM＝60°，
∴，
∴．
24．解：（1）∵∠DAB＝90°
∴BD是直径，
∴BD＝12，
∴2AB2＝144，
∴AB＝；
（2）如图2，连接BD，
∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，
∴BD＝，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴＝，
∴DC＝CB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴BC＝，
作BH⊥AC，
∵∠CAB＝45°，
∴AH＝BH＝，CH＝，
∴AC＝．