2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（九）

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1．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以由可得，由可得
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，，故A、B错误
，所以，即，所以D正确
因为，，所以，解得，故C错误
故选：D
2．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
对任意的，
，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
当时，，
因为二次函数在上为增函数，且，
所以，函数、在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
令，其中，则，
故函数在上为减函数，所以，，即，
所以，，所以，，
又因为，即，所以，.
故选：A.
3．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使二面角的平面角的大小为，且三棱锥的体积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，直线的方程为，代入双曲线方程可得，
设点在轴上方，则，可得，所以，
由题意可知，且，所以平面，
所以为二面角的平面角，即，
所以，即，
又，所以，可得双曲线的离心率为，
故选：A．
4．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）的定义域为，且，，则（ ）
A．3B．2C．0D．1
【答案】C
【解析】令，则，即，
所以，，
所以，
所以，
所以的周期为6，
令，则，得，
因为，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以
故选：C
5．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为实数，，满足，，，
所以，
∴；
又，
∴；
∴．
故选：A．
6．（2022·河北·高三阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．是奇函数B．在区间上单调递增
C．有3个零点D．，
【答案】B
【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且
，
记，则有
，
故是奇函数，因此选项A正确.
令，则有，即或，
解得或，即，，或，故有3个零点.因此选项C正确.
由于，故选项D正确.
因此，选项B不正确.事实上，，
且，，故存在，使得，
从而当时，，故在区间上单调递减.
故选：B
7．（2022·河北保定·高三阶段练习）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为平方分米，其体积为立方分米，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设圆柱的底面半径与高分别为分米，分米，则该几何体的表面积平方分米，则，所以该几何体的体积，
则，
当时，，则在上单调递增，而，，故的取值范围是.
故选：A.
8．（2022·河北保定·高三阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方程有两个不等的实数根，
，
，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
9．（2022·重庆八中高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
则
故选：D
10．（2022·重庆八中高三阶段练习）若函数为奇函数，且在上单调递增，则下列函数在上一定单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数为奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
将的图象向右平移2个单位可得函数的图象，
故函数在上单调递增，函数在上单调性不确定，故A错误；
因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数在上单调递减，故B错误；
将的图象上的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得到函数的图象，
所以在上单调递增，故C正确；
因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数在上单调递减，故D错误.
故选：C.
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，
又切线过点切线斜率为，，即，
∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．
令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，
或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，
,即，解得，
故选：D.
12．（2022·重庆·高三阶段练习）若x，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
13．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
14．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，等价于，
在平面直角坐标系中画出与的图象如下图所示：
当时，恒成立，当时，的解集为；
当时，，在上单调递减，，
即当时，恒成立；
综上所述：的解集为.
故选：A.
15．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据
，
可得，故，
所以，故的周期为24，所以，，
故选：A．
二、多选题
16．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的最小值为2
C．若，分别是曲线和上的动点，则的最小值为
D．若对恒成立，则
【答案】ACD
【解析】由，则，得在上恒成立，则在上单调递增，
而，故在上恒成立，即在上单调递减，故A正确；
因为，故存在，使，则，解得，
当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
所以，因为，所以，故B错误；
与相切于，与相切于，则的最小值为，故C正确；
若对恒成立，
则对恒成立，即，
设，易知在上单调递增，
则化为，即，
设，易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，则，解得，
又，所以，故D正确．
故选：ACD．
17．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，
由，，得，
即，所以是周期函数，且周期为4，，
在，中令得
，，A正确；
没法求得的值，B错；
令得，，，则，无法求得，同理令得，，，
因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；
在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确；
故选：AD．
18．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】CD
【解析】设，则在R上单调递增，
因为，则，
设，则，即，
所以，
设，，
当，当，
则在单调递减，在单调递增，
，即，
所以，即，
故的取值可以是3和4.
故选：CD.
19．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）已知数列满足为数列的前项和，则（ ）
A．是等比数列
B．是等比数列
C．
D．中存在不相等的三项构成等差数列
【答案】BC
【解析】数列中，，，则，，
因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；
因，，则数列不是等比数列，A不正确；
，C正确；
假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，
则有，而，即，又，因此，不成立，
所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.
故选：BC
20．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因此已知，．
又，，即，
因而A、B均正确．
又，当且仅当即时等号成立，
但，
因而，上式等号不成立，
所以．C正确．
记，，
因此
而函数在区间范围内单调递增，
所以，所以D正确．
故选：ABCD．
21．（2022·河北·高三阶段练习）意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】通过给出数列的前9项，发现，，…，因此我们归纳、猜想，事实上，
故选项A错误；
，可以运算得到，故选项B正确；
可以发现，，，，，…，归纳得到，故选项C正确；
可以发现，，，，…，归纳得到，事实上，
故选项D正确.
故选：BCD.
22．（2022·河北保定·高三阶段练习）若对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”.（ ）
A．至少存在一个等比数列不是“数列”
B．至少存在两个常数列为“数列”
C．若是“数列”，则也是“数列”
D．对任意的，总是“数列”
【答案】ABD
【解析】对于，若，则是等比数列，由，得，则不是“数列”.
对于，由，得或1，所以至少存在两个常数列为“数列”.
对于C，若，则是“数列”，令，设，则，故不是“数列”.
对于D，设，由，得，所以对任意的总是“数列”.
故选：ABD
23．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，的纵坐标一定大于
D．不存在使得
【答案】ABD
【解析】对于，易得，由可得，由焦半径公式得点横坐标为，
代入抛物线可得，则，故A正确；
对于，由可得直线的斜率为，
则直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线解得，则，故在的中垂线上，，故B正确；
对于，由抛物线的性质知，以为直径的圆与准线相切的切点纵坐标为，
故当时，为该圆与轴的交点，纵坐标大于或小于均可，故C错误；
对于D，设的中点为，，
则，当轴时，，
则，不存在使得，故D正确；
故选：ABD.
24．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】函数有两个极值点，只需有两个变号零点，
即方程有两个根.
构造函数，则，
当且时，，当时，
所以在和上递减，在上递增，
所以函数的极小值为，且当时，，
所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个极值点，错；
对于选项，为直线与函数图象两个交点的横坐标，因为函数在上递减，在上递增，且，故B正确；
对于选项，由，从而代入得，令，则，故在上递减，故对；
对于选项，因为，由可得对.
故选：BCD.
25．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知是的两个内角，满足，下列四个不等式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】因的内角满足，则角C是钝角，且，
，函数在上递增，函数在上递减，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，取，则，，D错误.
故选：ABC
26．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数是的导函数，下列命题正确的有（ ）
A．成立
B．成立
C．在上有两个零点
D．“”是“成立”的充要条件
【答案】ABD
【解析】依题意，，
对于A，，令，则，
令，当时，，即在上递增，
当时，，因此在上递减，，
即恒成立，A正确；
对于B，令，当时，，
即函数在上递增，当时，
，函数在上递增，，B正确；
对于C，由选项知，函数在上递增，当时，，无零点，
当时，，即函数在上递减，而，
即函数在上有唯一零点，因此函数在有1个零点，错误；
对于D，当时，，由选项知，不等式成立，反之，
若，，令，，
，由选项B知，在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，，
当时，，则存在，使得，因此当时，，
则在上单调递减，当时，，不符合题意，综上得，
所以“”是“成立”的充要条件，D正确.
故选：ABD
27．（2022·重庆·高三阶段练习）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时，使得
C．给定正整数，若，，且，则
D．设方程的三个实数根为，，，并且，则
【答案】ACD
【解析】
，A对
令，则，，则，B错；
令，其中，
，即
∴
由可得
，即，∴
∴，C对；
令，，
，即
即
∵，∴或或
令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选：ACD.
28．（2022·重庆·高三阶段练习）已知点P为正方体内及表面一点，若，则（ ）
A．若平面时，则点P位于正方体的表面
B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变
C．存在点P，使得平面
D．，的夹角
【答案】AD
【解析】在正方体中，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又，所以点在平面上（包括边界），
又，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；
对于B，设到平面的距离为，则
显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
，平面，
所以平面，
若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；
因为设，，，所以，即，
又，所以，，，
设
所以，的夹角为，则，
当时，，
当时，因为，所以，
所以，所以，因为，所以，
综上可得，故D正确；
故选：AD
29．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）设定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若，，则
D．若，，则在R上是增函数
【答案】ACD
【解析】由题意得：
对于A，因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；
对于B，令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B错误；
对于C，令，所以，所以，
令，所以，所以，
令，所以，所以，
同理：，……，可发现的周期为4，
所以
则，故C正确.
对于D，因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，故D正确；
故选：ACD.
30．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，故，当且仅当时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
所以，AC选项错误，，B选项正确.
构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，，D选项错误.
故选：ACD
31．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】令，则对恒成立，
∴在时单调递增.又由实数，满足，
即，∴，
若，则，故A、B选项错误；
令，则，
当时，，此时单调递增，当时，，
此时单调递减，故大小不确定，C选项错误；
令，则，此时单调递增，
又∵，∴，∴，即，
故D选项正确.
故选：ABC.
32．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在中，角所对边长为，，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的外接圆半径是
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，在中，由余弦定理得：，
，A正确；
对于B，当时，为等腰三角形，则，；
设外接圆半径为，则，，B正确；
对于C，，，
即，，C错误；
对于D，由知：（当且仅当时取等号），
解得：，，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
33．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_____________.
【答案】
【解析】设直线y=x与曲线相切于点.
因为，所以，所以.
又因为P在切线y=x上，所以，
所以，
因此.
设，则由，
令，解得：；令，解得：；
所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，
可知g(a)的最大值为，所以ab的最大值为.
故答案为：
34．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．
【答案】1
【解析】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，
∴，作出的图象，如图
要使有三个不同的零点，，其中
令，则需要有两个不同的实数根（其中）
则，即或，且
若，则，∵，∴，则
∴，则，且
∴=
若，则，因为，且，
∴，故不符合题意，舍去
综上
故答案为：1
35．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得，即或，
的图象如图所示，
关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
36．（2022·河北·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为___________.
【答案】
【解析】∵平面，平面，∴，又，∴
取中点分别为,连接,
由于,平面,所以平面,
因为底面为菱形，所以，，且，所以,即是三角形外接圆的圆心，因此球心在直线上，
又,所以,因此可得为球心，
又，
∴.
故答案为：
37．（2022·河北保定·高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增.当时，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，则的图象关于对称，
又在上单调递增，故在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立.
设，而，对称轴，
当时，，解得.
当时，对恒成立.
综上，的取值范围为.
38．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知实数满足：，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由已知得，，
令，则，
在上单调递增，
又因为，
所以
，
，
令
所以，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
故答案为：.
39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】，
又
故
即
当且仅当，即时，有最大值.
故答案为：
40．（2022·重庆·高三阶段练习）已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为________．
【答案】，，
【解析】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上，
设点，由点到直线的距离为4，得，即或，
又点A关于的对称点为，则，即，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，不符合题意，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
所以点的坐标可能为，，.
故答案为：，，
41．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
【答案】
【解析】根据题意，作出函数的图像，如图：
令，因为方程有8个相异的实数根，
所以方程在区间上有两个不相等的实数根，
故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.
所以，即，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
42．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时_______________________．
【答案】
【解析】
作交于，交于，且，设，
则，，
设，作交于，交于，
因为，所以，，
，所以，所以，即，
，
所以
，
因为，所以当即时最大，
也就是最长时.
故答案为：.
43．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】由题意，因为函数在上单调递增，
所以恒成立，所以，
所以，又因为，
所以，且，，
则，而，
令，记
，
∵，∴，
∴在上单调递减，
∴当时，取最小值5，
即当时，的最小值是5．
故答案为：5．
44．（2022·河北·高三阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则面积的最小值为___________.
【答案】1
【解析】由，故可设，代入，得，
设，，不妨令，，
∴
∴
当且仅当时取等号，此时轴.
故面积的最小值为1.
故答案为：1
45．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．
【答案】2
【解析】∵线段与线段交于点，设（），
则，即，
又∵、、三点共线，则，即，
∵，
∴当为中点时最小，此时最大，
又，故此时，
∴，即，即的最大值为，
故答案为：2．
46．（2022·河北·石家庄二中实验学校高三开学考试）已知函数在内是减函数，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数在内是减函数，
，函数，
且，
，又，
．
故答案为：
47．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数（且），若不等式的解集为，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】若，则，即，
当时，，当时，.
由的解集为，得，，
故，所以解得，
又因为，所以，又，所以.
故答案为：
四、双空题
48．（2022·河北·高三阶段练习）进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（），且每人是否感染这种病毒相互独立.记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，则的最大值点的值为___________；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当p取时，检测次数最少时k的值为___________.
参考数据：，，，，,，，，
【答案】 0.05 5
【解析】依题意，100个人中恰有5人感染病毒的概率是，且.
因此，
令，解得.
则当时，；当时，.
所以的最大值点为
设每个人需要检测的次数为X，若混合样本成阴性，则；若混合样本成阳性，则，则，，
∴，
当k分别取2，3，4，5，6，7，8，9，10时，的值分别为0.597，0.476，0.436，0.426，0.432，0.445，0.462，0.481，0.501，故当时检测次数最少.
故答案为:，5