四川省南充市阆中东风中学2023-2024学年高一上学期第二次段考数学试题(Word版附解析)
展开考试时间:120分钟 试卷满分:150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若,,,则是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件求出,再求即可得解.
【详解】因,,则,而,
所以.
故选:B
2. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定即可判断.
【详解】由题可知:
命题的否定为:.
故选:D
3. 若,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数和指数函数的性质可得.
【详解】,且,
,
,
故,
故选:A.
4. 用二分法求方程的近似解时,可以取的一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数并判断其单调性,借助零点存在性定理即可得解.
【详解】,
令,在上单调递增,并且图象连续,,,在区间内有零点,
所以可以取的一个区间是.
故选:B
5. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数型复合函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】对于函数,解得或,
故函数的定义域为,
函数的开口向上,对称轴为;
函数在上单调递增,
根据复合函数单调性同增异减可知,
的单调递增区间是.
故选:D
6. 函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.
【详解】由函数 , 可得,
故函数的定义域为,
又 , 所以是偶函数,
其图象关于轴对称, 因此 错误;
当 0时,, 所以错误.
故选:
7. 已知符号函数 ,则是的 ( )
A. 充分条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义,即可求解.
【详解】由函数,
若,可得,所以充分性不成立;
若,则同号,所以,所必要性成立,
故“ ”是“”的必要不充分条件.
故选:C
8. 设函数,若方程有3个实数解,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数图象,找到临界位置,得到不等式组,解出即可.
【详解】当时,,
当时,,则,
同理当时,可得,依次类推,
当,,且为偶数,则,
则,
作出函数图象如图所示,
若方程有3个实数解,则两函数图象有3个交点,
显然当时,与只有1个交点,舍去,
当时,要想有3个交点,则显然点在图象的上方,点在图象的下方,
则,则,,则,
则,
故选:C.
【点睛】关键点睛:本题的关键是转化为函数交点个数问题,然后作出函数图象,通过数形结合找到临界点,从而得到不等式组,解出即可.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下面说法正确的有( )
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为
C. 3弧度的角终边在第二象限
D. 第一象限角是锐角
【答案】AC
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A,由终边相同的角的概念可判定B,由即可判断C,举反例可判定D.
【详解】对A,根据角度制与弧度制的转化得,即A正确;
对B,易知终边在直线上的角的取值集合可表示为,即B错误;
对C,因为,则3弧度的角终边在第二象限,故C正确;
对D,是第一象限角,但不是锐角,即D错误.
故选:AC.
10. 下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递增的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.
【详解】对A,根据幂函数性质知是奇函数,不满足题意;
对B,设,定义域为,关于原点对称,
且,则为偶函数,当时,,其单调递增,满足题意;
对C,根据指数函数性质知是非奇非偶函数,不满足题意;
对D,根据二次函数性质知是偶函数,且在区间上单调递增,满足题意;
故选:BD
11. 若函数(且)的图像过第一、三、四象限,则必有( ).
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对底数分情况讨论即可得答案.
【详解】解:若,则的图像必过第二象限,而函数(且)的图像过第一、三、四象限,所以.
当时,要使的图像过第一、三、四象限,则,即.
故选:BC
【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质,属于基础题.
12. 已知为函数的两个不相同的零点,则下列式子一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分析可知直线与函数的图象有两个交点,数形结合可得出,利用基本不等式可判断ABC选项,利用特殊值法可判断D选项.
【详解】令可得,则直线与函数的图象有两个交点,
且这两个交点的横坐标分别为、,如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数图象有两个交点,
设,则,由,可得,解得,
由,可得,解得,所以,,
对于A选项,,A对;
对于B选项,,B对;
对于C选项,,则,C对;
对于D选项,取,则,,D错.
故选:ABC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数(其中且不等于1)的图象恒过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】令真数为,求出的值,代入函数解析式可得出定点坐标.
详解】令,得,当时,.
因此,函数的图象过定点.
故答案为:.
14. 幂函数为偶函数,且在区间上单调递增,则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解,再验证奇偶性即可.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增,
所以,解得,此时,定义域为,关于原点对称,
且,则为偶函数,
故答案为:
15. 已知某扇形的周长是,圆心角的弧度数为,则该扇形的面积是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据扇形的周长是,圆心角的弧度数为,由求解,
【详解】设扇形的半径为,所对弧长为,
则,
解得,
所以扇形面积.
故答案为:4
16. 定义在的函数满足,且,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设,由已知可得在区间上单调递增,原不等式等价于,即可求解.
【详解】,,,有,,
设,有,则,都有,
所以在区间上单调递增,,
则当时,由,得,即,
解得,故原不等式的解集为.
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,17题10分,其余每小题12分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1)1 (2)3
【解析】
【分析】(1)用指数幂的运算可得;
(2)用对数函数的运算性质可得.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式点睛】
18. 已知集合.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)求出集合B,进而求出交集;
(2)根据得到A是B的子集,进而得到不等式组,求出实数的取值范围.
【小问1详解】
.
当时,,
所以.
【小问2详解】
,
∴,故,
即
所以实数m的取值范围是.
19. 已知二次函数且.
(1)若函数的最小值为,求的解析式;
(2)在(1)的条件下,在区间上恒成立,试求的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)根据函数的最小值为,可得,且,可得的值,从而得到的解析式;
(2)分离参数,求解二次函数在区间上的最小值,即可得的范围.
【小问1详解】
由题意知,且,
∴,∴.
【小问2详解】
在区间上恒成立,
转化为在上恒成立.
设,且对称轴为,
则在取得最小值,
∴.
∴,即的取值范围为.
20. 已知函数的图象与,且的图象关于对称,且的图象过点.
(1)求函数的解析式;
(2)若成立,求的取值范围.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】(1)由题意可得出,可求得正数的值,再由指数函数与对数函数的关系即可得到;
(2)由函数的单调性可得出关于的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
(1)因为,则,
且,解得,所以.
因为函数的图象与的图象关于轴对称,
所以.
【小问2详解】
因为为上单调递增函数,则,解得,
则的取值范围为.
21. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元),每千件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式:
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大?
【答案】(1)
(2)100千件
【解析】
【分析】(1)分、两种情况分别求出;
(2)利用二次函数及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
由题可知当时,,
当时,,
所以;
【小问2详解】
当时,,
则时有最大值;
当时,,
当时,,当且仅当,即时取等号,
所以当时有最大值;
综上,年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
22. 已知函数的图象关于轴对称.
(1)求实数的值;
(2)若函数,是否存在实数使得的最大值为3?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的定义求解;
(2)求出的表达式,用令,则,化函数为二次函数,由二次函数的性质求解.
小问1详解】
∵函数是偶函数,
∴,即,
∴,∴;
【小问2详解】
假设存在满足条件的实数m.
由题意,可得,
,.
令,则,.
令,.
∵函数的图象开口向下,对称轴为直线,
∴当,即时,,解得(舍去)
当,即时,
,解得(负舍);
当,即时,
,解得(舍去).
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四川省南充市阆中中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析): 这是一份四川省南充市阆中中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。