四川省南充市高坪中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市高坪中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由诱导公式计算即可.
【详解】由题意.
故选：D.
2. 若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出函数代入点坐标得到，再计算反函数得到答案.
【详解】设，函数过，即，即，，
它的反函数的解析式为.
故选：A
3. 已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】解：∵，
∴函数（，且）的图像恒过点，
∴由三角函数定义得
故选：D
4. 下述正确的是（ ）
A. 若为第四象限角，则
B. 若，则
C. 若的终边为第三象限平分线，则
D. “”是“”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可
【详解】对于A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得，故不正确；
对于B，若，则，故不正确；
对于C，若的终边为第三象限平分线，则，
此时，故不正确；
对于D，由可得，即，满足充分性；
由可得，所以，满足必要性，故正确
故选：D
5. 已知是第二象限角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由α是第二象限角可得，再由同角三角函数的基本关系，即可得答案.
【详解】任意角的三角函数
∵，∴，
，是第二象限角∴.
故选：A
6. 若函数在区间内有唯一的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在内是增函数，得到，计算得到答案.
【详解】因为在内是增函数，且在内有唯一的零点，所以
解得.
故选：
【点睛】本题考查了根据零点求参数范围，确定函数的单调性是解题的关键.
7. 函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
8. 今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】对选项A：函数单调递增，故，错误；
对选项B：函数在上单调递增，故，正确；
对选项C：函数单调递减，故，错误；
对选项D：，，故，正确；
故选：BD
10. 下列函数中，最小值为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】取，可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；利用函数单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A不满足；
对于B选项，因为，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，B满足；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，等号不成立，即的最小值不是，C不满足；
对于D选项，因为函数的定义域为，
且函数在上单调递增，故，D满足.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B.
C. 当时，
D. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.
【答案】ABD
【解析】
【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D.
【详解】因为，所以，即恒成立，
所以函数的定义域为R，故选项A正确；
，
所以，故选项B正确；
因为，
且函数在上单调递增，又有在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；
记函数，由选项A知的定义域为R，
且，所以是奇函数，
因为，且函数在上单调递增，
又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，
因为是奇函数，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确.
故选：ABD
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．则（ ）
A. ，
B. 不等式的解集为
C. 当，的最小值为
D. 方程的解集为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义逐项分析即可.
【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则，
整数部分为，，故，正确；
对选项B：，则，故，正确；
对选项C：，
当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；
对选项D：取，则，满足方程成立，错误；
故选：AB
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；
【答案】6
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
14. 已知幂函数在区间上单调递减，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
15. 若函数有四个不同的零点，则b的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出和的图象，根据数形结合求解即可.
【详解】作出和的图象，如图所示，
函数的零点问题可转化为两个图象的交点问题，
由图可知，要使两个图象有四个交点，则需.
故答案：
16. 已知是偶函数，的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用偶函数性质求得，然后化简函数，利用复合函数值域求法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式，写出演算过程
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用根式、指数幂运算性质计算可得结果；
（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.
【小问1详解】
解：原式.
【小问2详解】
解：原式.
18. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，当时，可求得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；
（2）根据题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】由题意得：，所以集合，
（1）当时，集合，
所以.
（2）若是的必要条件，则，
当时，，解得，符合题意，
当时，则，解得，
综上的取值范围为
【点睛】易错点点睛：当出现，即B集合为小范围，且B集合含有参数时，需讨论B集合是否为空集，再进行求解，考查分析理解的能力，属基础题.
19. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.
（2）由可得.
【小问1详解】
由三角函数的定义，，，
两边平方，得
则，，，
所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
.
20. 已知集合.
（1）求集合；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性得到且，由此求解出的取值范围，则集合可知；
（2）采用换元法令，将函数变形为关于的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.
【详解】（1）因为，且在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
令，所以，对称轴为且开口向上，
所以，
所以函数的值域为.
21. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
（1）把商品的利润表示为生产量的函数；
（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）
（2）生产量为千件时，最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；
（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.
【小问1详解】
设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
则，
所以.
【小问2详解】
当时，
，
当，即时，，
当时，是减函数，时，，
所以当时，，
所以生产量为千件时，最大利润为万元.
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的定义域、值域和单调性，由题意可得，解不等式即可得出答案.
（2）求得时，值域；讨论和时的值域，由题意可得与值域有交集，即可得所求范围.
【小问1详解】
，定义域为
，函数是奇函数.
又在时是减函数，
故不等式等价于
即，又，∴
解得
故不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意知：时，与值域有交集.
时，是减函数 ∴，
当时，，时单调递减，，
∴ ∴
当时，，时单调递增，，显然不符合