北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共16页。

本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，据此可得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，得直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得焦点坐标以及准线方程.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
3. 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 坐标平面 SKIPIF 1 < 0 B. 直线 SKIPIF 1 < 0 坐标平面 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 坐标平面 SKIPIF 1 < 0 D. 直线 SKIPIF 1 < 0 坐标平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 及三个坐标平面的法向量，根据 SKIPIF 1 < 0 与法向量的关系判断．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，这三个法向量与 SKIPIF 1 < 0 都不平行，
但 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均不在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上，因此 SKIPIF 1 < 0 与坐标平面 SKIPIF 1 < 0 平行，
故选：C．
4. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5. 在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】画出长方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 所成的平面角，求出 SKIPIF 1 < 0 的值即可得出答案.
【详解】长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 所成的平面角，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.
【详解】因为直线与圆相离，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:B.
7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 种B. SKIPIF 1 < 0 种C. SKIPIF 1 < 0 种D. SKIPIF 1 < 0 种
【答案】B
【解析】
【分析】先排好教师再排学生即可.
【详解】2名教师排在两边有 SKIPIF 1 < 0 种排法，3名学生排在中间有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
所以共有 SKIPIF 1 < 0 种排法；
故选：B.
8. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
计算直线平行等价于 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，根据范围大小关系得到答案.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
验证均不重合，满足.
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 SKIPIF 1 < 0 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 SKIPIF 1 < 0 ，水面宽 SKIPIF 1 < 0 ，那么当水位上升 SKIPIF 1 < 0 时，水面宽度为（ ）

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.
【详解】以图中水面所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，水面的垂直平分线所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
当水位上升 SKIPIF 1 < 0 时，水面的宽度也即当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆所截的弦长.
把 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以当水位上升 SKIPIF 1 < 0 时，水面的宽度为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
10. 设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 6C. 4D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，再联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，消 SKIPIF 1 < 0 后可得到 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则所求 SKIPIF 1 < 0 的最大值为圆心到点 SKIPIF 1 < 0 的距离加上半径，由此即可求解．
【详解】依题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】求出线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12. SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的常数项为_______
【答案】20
【解析】
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
13. 设 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由两点间的距离公式代入可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
且满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
【解析】
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
结合渐近线的特点，只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
15. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 内部（含边界）的一个动点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .给出下列四个结论：
①动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
④设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①，利用线线平行可证得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进而知动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹；
对于②，利用垂直的性质的可判断；
对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；
对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；
【详解】对于①，分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正方体性质知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动时，有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
对于②，当 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于③，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 所以三棱锥的体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于④，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
故正确结论的序号是①③④，
故答案为：②③④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16 从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？
【答案】（1）35 （2）30
【解析】
【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有 SKIPIF 1 < 0 种；
（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
7名志愿者中选出3人共有 SKIPIF 1 < 0 种；
【小问2详解】
选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有 SKIPIF 1 < 0 种.
17. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，即可求得二面角的余弦值
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直的性质定理可知， SKIPIF 1 < 0
又因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，且PA,BA含于平面PAB,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
根据题意可知，以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
易知， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
18. 在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是由满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积等于定值 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 组成的集合.
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个圆（或圆的一部分），求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）由题意知， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
可化为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个圆（或圆的一部分），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可化 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
可化为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，其长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）记斜率为1且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，判断椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的两点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）不存在
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，写出方程.
（2）先假设存在，设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，验证 SKIPIF 1 < 0 ，得结论不存在关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的两点.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
假设存在关于 SKIPIF 1 < 0 对称的两点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不存在关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的两点 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 .
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（3）已知点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】选①或②，都能得到， SKIPIF 1 < 0 ，后如图以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.
【小问1详解】
若选择①，因 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若选择②，做 SKIPIF 1 < 0 ，交AB于F，又 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形DCFA是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，则如图建立以A为原点的空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为：
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
因点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，则设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
得线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 可作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 均与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切.证明：动点 SKIPIF 1 < 0 组成的集合是一个圆.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的 SKIPIF 1 < 0 ，化简即可求解.
【小问1详解】
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 —①，
设过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以将 SKIPIF 1 < 0 代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 —②，
将 SKIPIF 1 < 0 代入②得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 —③，
由②③相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 其中一条切线无斜率时，此时 SKIPIF 1 < 0 ,也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知：动点 SKIPIF 1 < 0 组成的集合是一个圆，且圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.