广东省东莞市东莞中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份广东省东莞市东莞中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共23页。

1. 已知空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合空间中两点间距离公式可求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2. 已知过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等差数列的性质即可得出结果.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据焦半径公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再代入 SKIPIF 1 < 0 求解即可得答案
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，所以由焦半径公式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5. 古希腊数学家阿波罗尼斯在著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面直径均为6，母线长均为5，过圆锥轴的平面 SKIPIF 1 < 0 与两个圆锥侧面的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，用平行于 SKIPIF 1 < 0 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一部分，且双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别平行于 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】以矩形 SKIPIF 1 < 0 的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，由题得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得到本题答案.
【详解】以矩形 SKIPIF 1 < 0 的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，.
.由 SKIPIF 1 < 0 ，得离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由已知写出圆心坐标、半径，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 时，有最小值.求出圆心到直线的距离即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，进而求出结果.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以，当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 最小.
因为，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 如图，在棱长为6的正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是棱长为6的正四面体，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 是不大于 SKIPIF 1 < 0 的最大正整数，其中 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 200B. 210C. 400D. 420
【答案】B
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，再根据等差数列的求和公式求解即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是不大于 SKIPIF 1 < 0 最大正整数，其中 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差、首项均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正方体的性质以及已知，用基向量表示出各个选项中的向量，即可得出正确选项.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A项正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：AD.
10. 已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等差数列的性质，前 SKIPIF 1 < 0 项和公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC
11. 如图，由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，半圆的圆心是坐标原点，直径与椭圆的短轴重合，半圆所在的圆过椭圆的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴非正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线与上半椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与下半圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的长度的最大值是 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值是1
D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的条件，求出椭圆的短半轴长，半焦距；求出 SKIPIF 1 < 0 长度范围；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长等即可分别判断求解.
【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，
得出长半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0
对于 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的长度的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义知，因点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，
则 SKIPIF 1 < 0 的周长为： SKIPIF 1 < 0 ，，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值1，故 SKIPIF 1 < 0 错误.
对于 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为圆的直径,则 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程 SKIPIF 1 < 0 时,如图,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
综上, SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确;
故选： SKIPIF 1 < 0
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中点A在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0
D. 四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率判断选项A；求得线段 SKIPIF 1 < 0 的长度判断选项B；利用相似三角形判定定理判断选项C；求得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积判断选项D.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则点A在线段FM的垂直平分线上，则点A横坐标为2，又A在第一象限，
代入抛物线方程可得点A纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .则选项A判断正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立
SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .则选项B判断错误；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .则选项C判断正确；
四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积等于
SKIPIF 1 < 0 .
则选项D判断错误.
故选：AC
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13. 经过直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点且在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为6的直线方程是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】联立两直线解出交点坐标，根据直线过两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线斜率，写出直线的斜截式方程即可.
【详解】联立直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
由直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为6，即直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化为一般式方程可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由定义判断 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0 为的等比数列，用公式法求和即可.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知线段 SKIPIF 1 < 0 的端点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，端点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆的方程，整理即可得到 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由已知可得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 如图，曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上的点 SKIPIF 1 < 0 及原点 SKIPIF 1 < 0 构成一系列等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________；通项公式 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 ①. 2； ②. SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】设各个直角三角形斜边长分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由题意可得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 坐标，代入曲线方程，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设各个直角三角形斜边长分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2； SKIPIF 1 < 0 .
四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知递增等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用等比数列下标和性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中可构造方程求得满足题意的公比 SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列通项公式可得结果；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，采用错位相减法可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为递增等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）判断直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）平行，证明见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)作 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,证明平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 进而得线面平行；
(2)等体积法， SKIPIF 1 < 0 即可求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 距离.
【小问1详解】
如图，作 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，并连接 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 则底面为等边三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ,
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上高 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 经过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和上顶点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分别求解圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴交点，进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案；
（2）根据题意，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可.
【小问1详解】
解：对于圆 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0
因为圆 SKIPIF 1 < 0 经过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和上顶点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
所以 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，
所以联立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据已知可推出 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出通项公式；
（2）经化简可得， SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【小问1详解】
证明：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，假设数列 SKIPIF 1 < 0 中第 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 项最大，
当 SKIPIF 1 < 0 时则，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 中第2项最大，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都成立
所以由 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都成立，可得 SKIPIF 1 < 0 .
21. 图1是一个边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心．把三角形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 （如图2）， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求翻折后 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，请说出点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据二面角的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，再分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中结合余弦定理求解即可；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，进而利用坐标法求解即可判断；
【小问1详解】
解：在图1中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在图2中，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依然成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以，翻折后 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：根据题意，如图，以 SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在点 SKIPIF 1 < 0 ，满足平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以，不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 有解，
所以，线段 SKIPIF 1 < 0 上是不存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，是否存在与点 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出双曲线方程；
（2）假设存在符合题意的定点 SKIPIF 1 < 0 ，①当 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，②当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴时，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后再证 SKIPIF 1 < 0 对一般的直线 SKIPIF 1 < 0 也符合题意，即证 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，然后求解即 SKIPIF 1 < 0 即可.
【小问1详解】
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
假设存在符合题意的定点 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
②当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
下证定点 SKIPIF 1 < 0 对一般的直线 SKIPIF 1 < 0 也符合题意，
若要证 SKIPIF 1 < 0 ，则要证 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，即 SKIPIF 1 < 0 轴是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
即要证 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以定点 SKIPIF 1 < 0 对一般的直线 SKIPIF 1 < 0 也符合题意，
所以定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴时，由 SKIPIF 1 < 0 可求得定点 SKIPIF 1 < 0 ，然后再证定点 SKIPIF 1 < 0 对一般的直线 SKIPIF 1 < 0 也符合题意即可，考查数学计算能力，属于较难题.