广东省惠州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份广东省惠州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了 直线l等内容，欢迎下载使用。
1. 过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于直线 SKIPIF 1 < 0 直线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 坐标代入直线方程得 SKIPIF 1 < 0 .
所以所求的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A. 1B. 2C. -2D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差中项的性质得导方程，利用通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d.
由已知条件，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
3. 棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故设其方程为： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定义可得结果.
【详解】由题意可知，向量 SKIPIF 1 < 0 在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 直线l： SKIPIF 1 < 0 与圆C： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程，求所过定点，探究弦在垂直时取的最短，结合垂直直线斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ，由点斜式方程，可得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，弦 SKIPIF 1 < 0 最短，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则下列各图形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜截式方程为 SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的斜截式方程为 SKIPIF 1 < 0
对于A选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应小于0，直线 SKIPIF 1 < 0 的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率应大于0，在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
8. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数），则称 SKIPIF 1 < 0 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；② SKIPIF 1 < 0 不是等方差数列；③若 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）也是等方差数列；④若 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①③D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的定义，结合等方差数列的定义逐一判断即可.
【详解】① SKIPIF 1 < 0 是等方差数列， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）得到 SKIPIF 1 < 0 为首项是 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列；故①正确
②数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列；故②不正确
③因为 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把以上的等式相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列，故③正确；
④ SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等方差数列， SKIPIF 1 < 0 是常数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是常数，故④正确.
SKIPIF 1 < 0 正确命题的是①③④，
故选：A
二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 为等差数列B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列
【答案】BC
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，并确定 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前 SKIPIF 1 < 0 项和分析求解.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故A正确；
对于B，由上述过程可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 或3时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，由上述过程可知 SKIPIF 1 < 0 的公差等于2，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增数列，故D正确.
故选:BC.
10. 已知空间中 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量是 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD,根据模长公式可判断C,根据共线可判断B.
【详解】对于A, SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 故A正确；
对于B, SKIPIF 1 < 0 不是单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，故B错误；
对于C, SKIPIF 1 < 0 故C正确；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 故D正确.
故选：ACD
11. 已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是双曲线，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是椭圆，其焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是两条直线
【答案】BC
【解析】
【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 均是 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，故B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，故C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线不是两条直线，故D错误.
故选：BC
12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
C. 线段AB长度的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可判断C；设 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横坐标，得出 SKIPIF 1 < 0 根据单调性可得最大值判断D.
【详解】对于A，由题知，椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由椭圆定义知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D,设 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值4，故D错误.
故选：BC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点坐标为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据经过的点可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率公式即可求解.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以它的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线 SKIPIF 1 < 0 方程__________.（写出一个正确答案即可）
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】
【分析】找出一条满足条件直线方程即可.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
若要使圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1，则圆心到直线的距离应该为1，
则直线可以为： SKIPIF 1 < 0 ，
此时由圆 SKIPIF 1 < 0 得圆心为： SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
则如图所示：
由图可知圆上只有点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
16. 空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 且一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是两个平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交线，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.
【详解】根据材料可知，由平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
同理可知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的法向量.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据累加迭代即可求解通项；
（2）根据等差数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以0为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，
（1）求证： SKIPIF 1 < 0
（2）求EF与CG所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，易知 SKIPIF 1 < 0 坐标表示，利用空间向量的数量积运算易得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在（1）的条件下，易知 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示，利用 SKIPIF 1 < 0 可求得EF与CG所成角的余弦值.
【小问1详解】
依题意，建立以D为原点，以DA，DC， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴的空直角坐标系，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即EF SKIPIF 1 < 0 CF.
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以EF与CG所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内的一个动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 被曲线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦的长度.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)首先设点 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点间距离表示 SKIPIF 1 < 0 ，化简求轨迹方程；
（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意可设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 及两点间的距离公式可得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知，曲线 SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以弦的长度 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的不同的两点，其中 SKIPIF 1 < 0 为原点.
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）4
【解析】
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程即可求得结果；（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理写出 SKIPIF 1 < 0 的面积表达式即可求得其最小值.
【小问1详解】
由抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由题知，直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为4.
【解法二】由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在，且不为0
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为4
【解法三】当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为4.
21. 如图，在多面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由此能证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 成的角的正弦值．
【小问1详解】
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 成的角的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
22. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）存在；定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线的倾斜角，从而得 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 得双曲线方程；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程，设点 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再设 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 ，由其为常数求得 SKIPIF 1 < 0 ，同时验证当直线斜率为0时，此 SKIPIF 1 < 0 值也使得 SKIPIF 1 < 0 为刚才的常数，即得结论．
【小问1详解】
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故其渐近线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角小于 SKIPIF 1 < 0 ，而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则渐近线的 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
当直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时，则点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的两顶点，不妨设点 SKIPIF 1 < 0 ．
对于点 SKIPIF 1 < 0 ．
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值．
【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．并验证特殊表形下也成立．