广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共22页。试卷主要包含了考试结束后，考生上交答题卡等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是焦点位于 SKIPIF 1 < 0 轴上的抛物线
所以 SKIPIF 1 < 0
即焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0
故选:B
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.
2. 若 SKIPIF 1 < 0 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案.
【详解】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然不存在 SKIPIF 1 < 0 使得等式成立，故A正确；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：A.
3. 设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的公差.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点位置可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，即可解得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与线段 SKIPIF 1 < 0 有交点，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，数形结合可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
设直线 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在从点 SKIPIF 1 < 0 运动到点 SKIPIF 1 < 0 （不包括点 SKIPIF 1 < 0 ）时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角逐渐增大，
此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在从点 SKIPIF 1 < 0 运动到点 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角逐渐增大，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6. 如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知E为BC的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直三棱柱的几何性质，补形成正方体，利用异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.
【详解】由题意，可得该三棱柱可看作正方体的一半，补形如下图所示：
记 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
因为在正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角或其补角，
设该正方体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 的左支交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用双曲线的定义可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的齐次等式，即可解得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的值.
【详解】如下图所示，易知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，连接 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由圆的几何性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知斐波那契数列有诸多特殊的性质，例如：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）斐波那契数列中各项的个位数是以 SKIPIF 1 < 0 为周期变化的，则由上述性质可知 SKIPIF 1 < 0 的个位数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用两个性质可得出 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 的个位数，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的个位数，即可得解.
【详解】由性质（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
上述等式全部相加可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由性质（2）可知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的个位数相同， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的个位数相同，且不难知道， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的个位数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的个位数也为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 的个位数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设圆C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A. C的半径为2B. l恒过定点 SKIPIF 1 < 0
C. l可能与C相切D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，l被C截得的弦长最短
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简圆的标准方程即可判断A，令 SKIPIF 1 < 0 ，代入直线方程即可判断B，将 SKIPIF 1 < 0 代入圆方程即可判断C，当直线 SKIPIF 1 < 0 与定点与圆心连线所在直线互相垂直时，弦长最短，即可判断D.
【详解】对A， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的半径为2，故A正确；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对C，将 SKIPIF 1 < 0 代入圆方程有 SKIPIF 1 < 0 ，故定点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，
故直线与圆一定相交；
对D，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相互垂直时，
SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长最短，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论正确的为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量
【答案】BC
【解析】
【分析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.
【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，D错.
故选：BC.
11. 已知公差为d的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 为递增数列B. SKIPIF 1 < 0 为等差数列
C. 当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，d的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】通过等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式和下标和性质即可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可判断AC，而 SKIPIF 1 < 0 则可判断B，而通过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可得到关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，即可判断D.
【详解】对A， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，故A错误；
对B，设 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故B错误；
对C，由A知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时, SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对D，当 SKIPIF 1 < 0 时，由A知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
12. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率相等B. SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值D. 四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出两椭圆的的离心率，可判断A选项；求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可判断B选项；利用斜率公式以及椭圆方程可判断C选项；利用三角形的面积公式求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，可判断D选项.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，由B选项可知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，显然四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，其面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴必有交点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据递推公式求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时， SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】证明出 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可得出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可得出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最小值，可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 如图，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，若将 SKIPIF 1 < 0 沿折痕 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点 SKIPIF 1 < 0 折至 SKIPIF 1 < 0 处，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间数量积的运算性质可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此，线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过坐标原点O．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【小问1详解】
由题意可知，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
易知，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据两圆相交可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
18. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）130
【解析】
【分析】（1）首先证明 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，求出其公差，写出通项即可；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列求和公式即可.
【小问1详解】
由题可知, SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列,
设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由(1)可知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
19. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD为直角梯形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，设点E为棱PD的中点．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面ABP；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P到平面BCE的距离．
【答案】（1）见解析 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，利用中位线的性质证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，则可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，利用点到平面的距离公式即可.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由于侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴, SKIPIF 1 < 0 轴, SKIPIF 1 < 0 轴建立如图空间直角坐标系,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在C上．
（1）求C的方程；
（2）设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求l的斜率．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用渐近线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入即可求得结果；（2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并根据向量定比即可求得l的斜率．
【小问1详解】
由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知，上焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0
21. 在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD为正方形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点P在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 与平面PBC所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用面面垂直性质定理得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形对角线互相垂直有 SKIPIF 1 < 0 ，则可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，求出平面平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则可求出线面夹角的正弦值，则可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为菱形的对角线， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的长度为1.
22. 已知点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点，定点 SKIPIF 1 < 0 （其中常数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ），动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作两条斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（i）当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，数形结合可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可得出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）（i）分析可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，结合韦达定理求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值；
（ii）将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，结合韦达定理求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得出直线 SKIPIF 1 < 0 所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：易知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，等号成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，则 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，不合乎题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ，同理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（i）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，①等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，常利用直线的点斜式方程 SKIPIF 1 < 0 或截距式 SKIPIF 1 < 0 来证明.