湖南省永州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份湖南省永州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用直线方程的斜截式即可选出答案．
【详解】满足题意的直线方程通式为： SKIPIF 1 < 0
故选：B
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量垂直充要条件列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解之即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0
故选：D
3. 若双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为8，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解.
【详解】由题可得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
4. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 27B. 64C. 81D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】利用题给条件即可依次求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证明出四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 四点共面，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6. 已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】结合图像，分析出点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，
有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 中点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心在 SKIPIF 1 < 0 上，
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 显然成立，
SKIPIF 1 < 0 两边同时平方可得，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，
所以周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
8. 如图，瑞典数学家科赫在 SKIPIF 1 < 0 年通过构造图形描述雪花形状．其作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则图④中图形的面积为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，图形面积依次记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，图形分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，图形的边数分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
图形面积依次记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，图形分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
图形的边数分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
观察图形可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，图形 SKIPIF 1 < 0 是在图形 SKIPIF 1 < 0 的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
共增加了 SKIPIF 1 < 0 个边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 是a，b，c成等差数列的充要条件
B. SKIPIF 1 < 0 是a，b，c成等比数列的充要条件
C. 若a，b，c成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列
D. 若a，b，c成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.
【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出 SKIPIF 1 < 0 是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，
a，b，c成等比数列，只能证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，无法得到 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：AC.
10. 如图，一个底面半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱被与其底面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 的平面所截，截面为椭圆，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0
B. 椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C. 椭圆的方程可以为 SKIPIF 1 < 0
D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用图中的几何性质即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断 SKIPIF 1 < 0 的正误，利用二次函数的性质即可求出椭圆上的点到焦点的距离的最小值.
【详解】设椭圆的长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
则椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
椭圆上的一点为 SKIPIF 1 < 0 ,其中一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
该抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 有最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 的内切圆的面积 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断A，再由等面积法求出 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用直角三角形即内切圆的性质求出内切圆的半径，即可判断D
详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
在 SKIPIF 1 < 0 中，由等面积法知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由图知当点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，若点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确；
设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 切 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
故 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
对应面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ABD
12. 在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E，F为 SKIPIF 1 < 0 的两个三等分点，点P是长方体 SKIPIF 1 < 0 表面上的动点，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为30°D. SKIPIF 1 < 0 的最大值为90°
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，分析出P位于长方体的四个侧面时情况相同，P位于长方体的上下两个平面时情况相同，分两种情况进行求解出 SKIPIF 1 < 0 ，得到最值，并分析出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，举出反例得到C错误.
【详解】以A为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知：P位于长方体的四个侧面时，所处情况相同，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时
当 SKIPIF 1 < 0 或2， SKIPIF 1 < 0 或1时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，
由对称性可知：P位于长方体的上下两个平面时，所处情况相同，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，
当 SKIPIF 1 < 0 或2， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，
综上： SKIPIF 1 < 0 的最小值为0， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，A错误，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为90°，D正确；
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 计算可得.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1或8
【解析】
【分析】根据递推关系，对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶即可逐项求解得.
【详解】①若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，均满足要求，
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合要求，舍去，
②若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合要求，舍去，
综上 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1或8
15. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与曲池的底面垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ，每个底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【详解】延长AB交CD于O，过点O作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，分别以OD，OA，OT所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的图象上的点，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的值.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，易知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先利用中位线定理证得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【小问1详解】
连接直线BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，如图，
因为在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，所以O为BD中点，
又因为E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
根据题意，以DA为x轴，DC为y轴， SKIPIF 1 < 0 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
不妨设正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项，
（2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
设数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
19. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 为定值，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 先表示出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程求 SKIPIF 1 < 0 ，得出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入 SKIPIF 1 < 0 为定值，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线上，即 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为定值时， SKIPIF 1 < 0 ．
20. 如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点D在线段AC上，直线PD与直线BC所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面DBP与平面CBP夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由勾股定理证明 SKIPIF 1 < 0 ，由已知面面垂直证明线面垂直，再到线面垂直，从而证得结果；
（2）建立空间直角坐标系, 由直线PD与直线BC所成的角 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，再求平面DBP与平面CBP的法向量，得出两平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
证明：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）法一：根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，变形后得到 SKIPIF 1 < 0 ，证明出结论，并求出通项公式；
法二：由题目条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 以3为首项，以2为公差的等差数列，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，并证明出数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）利用放缩法得到 SKIPIF 1 < 0 ，裂项相消法求和，得到 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
方法一：当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
两式相除可得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
变形为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等比数列．
所以 SKIPIF 1 < 0
化简可得 SKIPIF 1 < 0
法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
22. 设 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于A的不同两点，是否存在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆，使直线AM，AN都与圆D相切，且 SKIPIF 1 < 0 三边所在直线的斜率成等差数列?若存在，请求出圆D的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】（1）利用椭圆定义即可求得曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）假设存在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆符合题意，利用题给条件和设而不求的方法列方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值即可解决.
【小问1详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的方程化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
假设存在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆符合题意．
设圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0
由于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故在上式中以 SKIPIF 1 < 0 代 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 按照一定次序成等差数列，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．