青海省西宁市六校联考2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份青海省西宁市六校联考2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共12题，小计60分）
1. 经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为（ ）
A. 0B. －6C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据点A(2,3)，B(－1，x)求得直线l1与斜率，再令斜率为－1求解.
【详解】直线l1的斜率k1＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ＝－1，
∴x＝6.
故选：C
2. 过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．
【详解】解：由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为一般式为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
3. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知条件可知，正三棱锥为正方体的一部分，然后利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】由题意可知，正三棱锥为正方体的一部分，如下图所示：
则所求的正三棱锥为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由正方体性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】根据题意，该几何体为圆锥，
圆锥的底面半径为1，高为3，
则该几何体的侧面积是 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
5. 已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为F1,F2离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【详解】若△AF1B的周长为4 SKIPIF 1 < 0 ,
由椭圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
考点：椭圆方程及性质
6. 在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或其补角为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设正方体棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7. 设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内， SKIPIF 1 < 0 ，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，根据题意，分别设出 SKIPIF 1 < 0 为球半径， SKIPIF 1 < 0 为四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径， SKIPIF 1 < 0 为球心到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，且根据 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后直接求解球的体积即可.
【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
设 SKIPIF 1 < 0 为球半径， SKIPIF 1 < 0 为四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径， SKIPIF 1 < 0 为球心到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知， SKIPIF 1 < 0 ，
而正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8. 设F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点A在C上，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，进而求得点 SKIPIF 1 < 0 坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，代入得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
9. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，则a的范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由题，直线与圆相交，则直线到圆心距离小于圆半径.
【详解】由题，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，直线与圆相交.则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 距离 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
10. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x- SKIPIF 1 < 0 ,即x=y+ SKIPIF 1 < 0 ,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴ SKIPIF 1 < 0 =p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
11. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据渐近线方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据共焦点得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
（理）
12. 设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 值，根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点
不妨设 SKIPIF 1 < 0 为在第一象限， SKIPIF 1 < 0 在第四象限
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 其焦距为 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值： SKIPIF 1 < 0
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
（文）
13. 设B是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，点P在C上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由依题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据两点间的距离公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
二、填空题（每题5分，共4题，小计20分）
14. 过点 SKIPIF 1 < 0 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.
【答案】x+y=3或y=2x
【解析】
【详解】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0．
综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0
考点：直线方程
15. 若一个圆锥轴截面是等边三角形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则这个圆锥的侧面积是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设母线为 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，再根据侧面积公式计算可得.
【详解】解：由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，设母线为 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆锥的侧面积 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16. 若圆C过三个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则圆C方程为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入求解.
【详解】解：设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
17. 已知m、n是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④m，n是两条异面直线，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假．
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则m与n平行或异面，故①错误；
SKIPIF 1 < 0 ，但m与n不一定相交， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，故②错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
m，n是两条异面直线，若 SKIPIF 1 < 0 ，则过m的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于直线 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，过n的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于直线 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，m，n异面， SKIPIF 1 < 0 一定相交， SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
由面面平行的判定可知 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
故答案为：③④
三、解答题（共六题，小计70分）
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．求：
（1）边 SKIPIF 1 < 0 上的中线所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；
（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.
【小问1详解】
设AC边上中点为D，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故AC边上的中线BD所在直线的方程 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
边AC所在直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
点B到直线AC的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积： SKIPIF 1 < 0
19. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 截圆所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用直线与圆相切可得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，求解即可；
（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况，结合圆的弦长公式即可得解.
【小问1详解】
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离等于圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
∵直线 SKIPIF 1 < 0 截圆所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，即 SKIPIF 1 < 0 ，符合；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 已知在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，F、G分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接AC，通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直的判定可得答；
（2）通过证明 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【小问1详解】
连接AC，由已知F、G分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 面ABCD， SKIPIF 1 < 0 面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
21. （1）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设过焦点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线C的离心率.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）联立方程，利用抛物线的焦点弦长度公式和韦达定理计算弦长；
（2）利用双曲线的定义得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 的关系，进而求得离心率.
【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
22. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点．求证：
（1） SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；
（2）首先证明出四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面垂直的判定定理得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面垂直的性质定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再次证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.
【小问1详解】
因为平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（理）
23. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
①求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
②求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可证得结论成立；
（2）①设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用点差法可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，列出韦达定理，由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由（1）知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
②联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 合乎题意，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（文）
24. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 即可求得答案；
（2）联立直线、椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.
【详解】（1）椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或者 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .