浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. 0B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理列方程求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3. 曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】先求函数在 SKIPIF 1 < 0 处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为1，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上任意一点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 转化到 SKIPIF 1 < 0 ，当三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，取得最小值.
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内部，
如图，
设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
由图形知，当 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 延长线上时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
5. 在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，
故以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角余弦值等于 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6. 某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 SKIPIF 1 < 0 ，在数列 SKIPIF 1 < 0 的任意相邻两项 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 SKIPIF 1 < 0 ．按新数列 SKIPIF 1 < 0 的各项依次派遣支教学生．记 SKIPIF 1 < 0 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. 198B. 200C. 240D. 242
【答案】B
【解析】
【分析】由已知确定数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再确定数列 SKIPIF 1 < 0 的项的取值规律，再求其前50项的和.
【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
数列 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的任意相邻两项 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个2所得，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 满足条件， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过C上任意一点P作圆C的切线l，交 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点，过A，B分别作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，两切线交于点Q，则 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）的最大值为（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先得到椭圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，考虑切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q的坐标，求出当切线斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，当切线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与圆相切得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出椭圆两切线方程，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，此时切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，
下面证明椭圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
理由如下：
当切线的斜率存在时，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，化简得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0
则椭圆的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
方程两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
当切线斜率不存在时，即此时 SKIPIF 1 < 0 ，故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当切线斜率不存在，切线也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
综上：椭圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故过 SKIPIF 1 < 0 的两切线分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
联立可得： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立得：
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 的椭圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的最大值为4.
故选：C
【点睛】过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
过圆 SKIPIF 1 < 0 外一点 SKIPIF 1 < 0 的切点弦方程为： SKIPIF 1 < 0 .
过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
8. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积可解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】焦点 SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立直线与抛物线的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于x，y的方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线可以是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】BC
【解析】
【分析】先得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，再结合方程特点，分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 三种情况求出答案.
【详解】显然 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线；
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无解，
综上：方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.
故选：BC
10. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 C. 公差 SKIPIF 1 < 0 D. 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可判断A 正确， SKIPIF 1 < 0 可判断C 正确，再根据 SKIPIF 1 < 0 可判断B错误，又因为 SKIPIF 1 < 0 可判断D正确.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，A正确.
SKIPIF 1 < 0 , C正确.
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
使 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为 SKIPIF 1 < 0 . B错误.
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最大. D正确.
故选：ACD
11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且其“欧拉线”与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则下列结论正确的是（ ）
A. 题中的“欧拉线”为方程： SKIPIF 1 < 0
B. 圆M上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小距离为 SKIPIF 1 < 0
C. 若圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若点 SKIPIF 1 < 0 在圆M上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，分析得到其欧拉线过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线方程；B选项，根据 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线与 SKIPIF 1 < 0 相切，列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到圆M上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小值为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离减去半径，求出答案；C选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出 SKIPIF 1 < 0 ；D选项， SKIPIF 1 < 0 的几何意义为点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点的斜率，数形结合得到当过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，且斜率为正时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
故 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线斜率为1，则方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 的欧拉线与 SKIPIF 1 < 0 相切，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆M上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点的斜率，
当过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为正时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD
12. 在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为线段 SKIPIF 1 < 0 （含端点）上动点，则（ ）
A. 存在无数个点对E，F，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. 存在唯一点对E，F，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，记其交点为 SKIPIF 1 < 0 ，在线段 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，判断A，将四棱锥补形为长方体，过点 SKIPIF 1 < 0 确定平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B，根据条件确定 SKIPIF 1 < 0 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的体积最大值，由此判断CD.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正四棱锥，由已知可得 SKIPIF 1 < 0
连接 SKIPIF 1 < 0 ，记其交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正四棱锥性质可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，在线段 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连接连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，将正四棱锥补形为长方体 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在线段 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，因为四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积等于四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
作侧面 SKIPIF 1 < 0 ，连接点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0
所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积小于 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 设函数 SKIPIF 1 < 0 （m为实数），若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数m的取值范围_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】首先根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】由递推关系证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，首项为3，公比为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点F作直线交C于A，B两点，连接 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）并延长交椭圆于点D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.
【详解】设右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，由于 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
（2）若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，求k的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)先求出向量 SKIPIF 1 < 0 ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；
(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以空间向量的夹角公式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
18. 在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，若______________．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）选①由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法证明即可.
【小问1详解】
若选①：在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也符合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
若选②：在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
若选③：在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
证明：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
19. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l方程．
【答案】（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，证明见解析；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，
再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；
（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.
【小问1详解】
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交；
【小问2详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
直线斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 满足条件，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可能为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；
（2）由已知先求 SKIPIF 1 < 0 ，根据错位相减即可求和．
【小问1详解】
由题意得：当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 不适合上式，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 也适合，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点A在平面 SKIPIF 1 < 0 内的投影恰好为 SKIPIF 1 < 0 的重心E，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于F．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由此证明 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：由已知证明 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，结合等腰三角形性质证明 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)建立空间直角坐标系，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.
【小问1详解】
方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
方法二：因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
因 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
如图以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
又 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 到其中一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）动点M，N在曲线C上，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，证明：存在定点T，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明当 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时不合题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，根据直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.
【小问1详解】
由已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为焦点 SKIPIF 1 < 0 到其中一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
【小问2详解】
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 不存在时，此时 SKIPIF 1 < 0 两点关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
若直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴的两交点关于原点对称，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，与题意矛盾，因此直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 分别与y轴相交的两点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 中点为T，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为定值，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．