内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题（含答案详解）

这是一份内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题（含答案详解），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

2022—2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷
理科数学
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”.
故选：A
2. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程即可求解.
【详解】由抛物线的标准方程可知：
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的开口向左，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴上，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3. 已知a， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是方程“ SKIPIF 1 < 0 表示圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示圆，
当 SKIPIF 1 < 0 表示圆时， SKIPIF 1 < 0 ，推不出 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是方程“ SKIPIF 1 < 0 表示圆”的充分不必要条件，
故选：A
4. 长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 两点的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用两次勾股定理求解.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.

5. P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形中位线定理，先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后再根据椭圆的定义，即可算出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M是线段PF的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由椭圆的定义，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.
【详解】由题意知，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，且公共弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
又圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 若实数m满足 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A. 离心率相等B. 焦距相等C. 实轴长相等D. 虚轴长相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 都是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率不相等，故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以实轴长不相等，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以虚轴长不相等，故D错误.
故选：B.
8. 已知点 SKIPIF 1 < 0 满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意分析可知点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9. 如图，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 所有棱长都为1，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ．则对角线 SKIPIF 1 < 0 的长度为（ ）

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法求解即可.
【详解】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
10. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称的两点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是左、右焦点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】判断四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
11. 已知命题 SKIPIF 1 < 0 ：椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；命题 SKIPIF 1 < 0 ：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．下列命题正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的离心率判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假性，根据双曲线的渐近线判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假性，进而根据逻辑连接词逐项分析判断.
【详解】对于命题 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 ，可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以命题 SKIPIF 1 < 0 为假命题；
对于命题 SKIPIF 1 < 0 ：双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以命题 SKIPIF 1 < 0 为真命题；
可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题， SKIPIF 1 < 0 为真命题，
所以A、B、D错误，C正确,
故选：C.
12. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 依次交 SKIPIF 1 < 0 轴、椭圆 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 四点．若 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ．则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可知： SKIPIF 1 < 0 的中点即为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，利用点差法运算求解.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接OM，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据抛物线的概念求解即可.
【详解】因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点M到x轴的距离为6，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点M到抛物线焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 在平面直角坐标系中，过 SKIPIF 1 < 0 作圆O： SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据切线的性质可知 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，且 SKIPIF 1 < 0 为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程.
【详解】由切线的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，且 SKIPIF 1 < 0 为直径，
由 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆方程相减可得，公共弦 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点且在第二象限．若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先根据方程求 SKIPIF 1 < 0 ，由题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，列方程求解即可.
【详解】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点且在第二象限，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ,
16. 在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ．以下各曲线中，存在两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的曲线有________．（请将所有符合要求的曲线方程序号写在横线上）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据题意可知：曲线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，对于①：利用直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，分析判断；对于②：根据直线与圆的位置关系分析判断；对于③：联立方程求交点坐标，进而分析判断；对于④：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以中垂线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：曲线与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，
对于①：直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 内，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，故①正确；
对于②：曲线 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，只有一个交点，故②错误；
对于③：联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于④：令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，两者没有交点，故④错误；
故答案为：①③.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知圆C过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且圆心C在直线l： SKIPIF 1 < 0 上．经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线m交圆C于P、Q两点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线m的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与直线l： SKIPIF 1 < 0 上求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得圆的半径，进而得解；
（2）根据题意求得圆心C到直线m的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论直线m的斜率存在与否两种情况，结合点线距离公式求解即可.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 中点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB的垂直平分线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆C半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则圆心C到直线m的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线m的斜率不存在时，直线m方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时C到直线m距离为2，满足题意；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线m的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得，直线m方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过原点 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 到准线距离为 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得抛物线的方程；
（2）联立方程，利用韦达定理证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
【小问1详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
则 SKIPIF 1 < 0 到准线距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ．

19. 如图1、2，已知圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．M是圆 SKIPIF 1 < 0 上动点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．

（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
（2）记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 是否存在一条直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 中点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）不存在这样的直线 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义求得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
（2）利用点差法求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.
【小问1详解】
由中垂线性质知， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线
设此双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ．∴不存在这样直线 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 、对角线 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不是端点），满足 SKIPIF 1 < 0 ．

（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值，并求此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）最小值为2；正弦值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意结合平行线的性质可证 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得结果；
（2）建系，利用空间向量可知当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值，进而利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 是正方形．所以以 SKIPIF 1 < 0 为原点，

分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （不过原点）交椭圆于两点 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 周长为8．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 依次成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 值，并求当 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出椭圆方程.
（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出 SKIPIF 1 < 0 依次成等比数列，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 的面积，求解即可得到 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【小问1详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆方程联立得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
又点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做、则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；
（2）直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 即可得解；
（2）化极坐标方程为直角坐标方程，联立直线与曲线普通方程，利用判别式求解.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以曲线C与x轴交点得坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线l的方程，
曲线C的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知x、y、z均为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）3 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，利用柯西不等式即可求得最大值；
（2）由（1）结合已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式即可求证.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又x、y、z均正实数，
由柯西不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3.
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．