云南省丽江市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份云南省丽江市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
（全卷四个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.
2．考试结束后，请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】解相应不等式化简集合，后由交集的定义可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2. 在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
所以复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，位于第一象限，
故选A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3. 在等差数列{an}中，a2、a4是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则a3的值为（ ）
A. 2B. 3C. ±2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等差中项运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0
∵{an}为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：D.
4. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5. 已知椭圆的中心在原点，离心率 SKIPIF 1 < 0 为且它的一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而可求出椭圆中的 SKIPIF 1 < 0 ，再由离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后由 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出椭圆的方程.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 上，所以设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得其焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
6. 如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
7. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 只有一条公切线，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，半径分别为2和1，故有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键和难点．
8. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由题意先由错位相减法得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再求 SKIPIF 1 < 0 及其最大值，再由不等式解得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
则由①减②可得：
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点B. SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D. SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】由图中 SKIPIF 1 < 0 与0的大小关系可得到函数的单调区间，再根据极值、零点和最值的定义判断各选项的正误即可得出答案.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 的图象可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，所以B，C均正确；
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零点，但不一定是 SKIPIF 1 < 0 的零点，所以A错误；
SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：BC.
10. 设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，l、n间的距离为 SKIPIF 1 < 0 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，错误；
C： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两线重合，排除；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由A知：它们的距离 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：坐标原点到直线n的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：ACD
11. 设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限相交于一点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 不可能是等边三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】
设直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在焦点 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 齐次关系，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断选项 SKIPIF 1 < 0 真假；选项 SKIPIF 1 < 0 同理求出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断真假； SKIPIF 1 < 0 ，可判断选项 SKIPIF 1 < 0 真假.
【详解】设直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 在第一象限内，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 不可能为等边三角形.
故选:AD.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，注意余弦定理在焦点三角形中的应用，属于中档题..
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的导数判断单调性后比较
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小不能确定，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小不能确定，则B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小不能确定，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能确定，则D错误.
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据抛物线方程直接求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝___________．
【答案】243
【解析】
【分析】设等比数列为 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质求解可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到a6＋a7＋a8
【详解】由题意，设等比数列为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为__________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据条件求出x＝1时y、y′的值即可表示出切线方程．
【详解】解：根据题意可得y′＝2xlnx+x﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
则当x＝1时，y＝0，y′＝﹣1，
所以曲线在x＝1处的切线方程为y＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣1＝0，
故答案为：x+y﹣1＝0．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．
16. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 反射后到达圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】t取特殊值解得点A坐标，然后求点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点，数形结合可解.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由图知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、M、N、C四点共线时取“=”号.
故答案为：6
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
分析】（1）首先根据已知条件列方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等差数列通项公式求 SKIPIF 1 < 0 即得；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18. 在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，______， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】（1）条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）选①：利用余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
选②：利用正弦定理化简可得出 SKIPIF 1 < 0 的，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
选③：利用辅助角公式化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 值，并求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用三角形的面积公式可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）若选①： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ；
若选②： SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ；
若选③：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
19. 如图，在五棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ､三角形 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形.
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ：
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小；
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以由平行关系 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,然后利用面面垂直的判定定理即可证出；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴,建立如图所示空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 .
20. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向 SKIPIF 1 < 0 km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时 SKIPIF 1 < 0 km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 三点的坐标列出方程组得出经过 SKIPIF 1 < 0 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，再由几何法得出直线 SKIPIF 1 < 0 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该圆经过 SKIPIF 1 < 0 三点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
所以该圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
化成标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
设轮船航线所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
圆心（6，8）到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线 SKIPIF 1 < 0 与圆截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，行驶时长 SKIPIF 1 < 0 小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
21. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程与离心率；
（2）已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 轴上方的A， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；
（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，数形结合可解.
【小问1详解】
由题意知焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
因为一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不同实根，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用导数求出其单调区间，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后将问题转化为证 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立即可.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ．
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，且极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值
【小问2详解】
证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不同实根，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴只需证 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立即可，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数证明不等式，第（2）解题的关键是根据题意将问题转化为证 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立即可，然后构造 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求其最小值大于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.