山西省阳泉市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份山西省阳泉市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（32分）
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 5B. 7C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由递推关系求解即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2. 如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别是BC， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
3. 函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
4. 若两条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 间的距离是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行关系求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，两直线不重合，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
5. 圆 SKIPIF 1 < 0 内有一点 SKIPIF 1 < 0 ，AB为过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的弦，则AB的长为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，然后利用弦长公式求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线AB过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线AB： SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，则原函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.
【详解】由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的增长速度越来越快，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的增长速度越来越慢.
B选项中的图象满足题意.
故选：B.
7. 1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题．他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为斐波那契数列，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. 1B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用递推公式，得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
8. 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的一动点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，而当 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，
故选：B．
二、多项选择题：（本大题2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. 如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，5， SKIPIF 1 < 0
B. 点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，8， SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，5， SKIPIF 1 < 0
D. 点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，5， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据图示分析即可；
对B，设点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点列式求解即可；
对C，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形判断即可；
对D，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 求解即可
【详解】对A，由图可得， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，5， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，由图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对C，在长方体中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直且平分，
即点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
对D，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确；
故选：ACD.
10. 若存在实常数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对其定义域上的任意实数 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的“隔离直线”，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有“隔离直线”
B. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“隔离直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在“隔离直线”，且 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在唯一的“隔离直线” SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，取直线 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的符号判断A；对于B，C，令隔
离直线为 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次不等式恒成立计算判断B，C；对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有
公共点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线，再证明此切线与 SKIPIF 1 < 0 图象关系作答.
【详解】对于A，取直线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的“隔离直线”，A正确；
对于B，C，令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的“隔离直线”为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 满足此不等式，有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，B正确，C不正确；
对于D，因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有隔离直线，则该直线必过点 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即这条直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间存在唯一的“隔离直线” SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
第Ⅱ卷（68分）
三、填空题：（本大题共四小题，每小题4分，共16分）
11. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由导数的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 的值，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入切线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】由导数的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入切线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题意，根据数列的通项 SKIPIF 1 < 0 与前n项和 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，即可求得数列的通项公式．
【详解】由题意，可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13. 设椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2， SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形中 SKIPIF 1 < 0 角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题.
14. 当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，则实数m的取值范围___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】函数有两个极值点转化为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，
等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 要有两个不同的交点，只需 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.
四、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程）
15. 已知圆C经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且圆心C在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）求过点B的圆C的切线方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，代入点 SKIPIF 1 < 0 坐标，求解即可.（2）设圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 ，借助于 SKIPIF 1 < 0 ，解出C点坐标，利用直线 SKIPIF 1 < 0 和切线垂直求切线的斜率，进而写出切线方程.
【小问1详解】
经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，
设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线不过原点时，设直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入解得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线的方程为 SKIPIF 1 < 0
∴所求直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
因圆心C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆C经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，于是得圆C的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴切线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与2的等差中项，等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)结合已知条件，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与2的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为2，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ...①
SKIPIF 1 < 0 ...②
①-②得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
17. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB SKIPIF 1 < 0 DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.
（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角P-AC-E的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 的中点G，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以点C为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
由图知所求二面角为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，上顶点B的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）O为坐标原点，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆相交于P，Q两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得 SKIPIF 1 < 0 中点坐标，进而判断出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
【小问1详解】
因椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令椭圆半焦距为c，
由离心率 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然直线l不垂直于y轴，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
显然，直线l不垂直于y轴，因直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可设为， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，直线OE的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，因此点 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即线段PQ中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，∴点M为线段PQ的中点.
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个不相等的零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，是否存在整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）存在，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得出 SKIPIF 1 < 0 从而可求出实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，利用导数分析函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性和极值，由题意转化为函数 SKIPIF 1 < 0 极值相关的不等式，解出即可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）将 SKIPIF 1 < 0 代入函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式得出 SKIPIF 1 < 0 ，对该函数求导得出 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用单调性结合零点存在定理找出函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点 SKIPIF 1 < 0 ，并满足 SKIPIF 1 < 0 ，结合此关系式计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得出整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 存在两个不相等的零点.
所以 SKIPIF 1 < 0 存在两个不相等的零点，则 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，至多有一个零点
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 存在两个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点.
综上可知，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，也是最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为整数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.