2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的方程为 3x+y−1=0，则直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.若双曲线y22−x2m=1的焦点与椭圆x24+y29=1的焦点重合，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 6D. 7
3.以A(2,0)，B(0,−4)两点为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. (x+1)2+(y−2)2=20B. (x+1)2+(y−2)2=5
C. (x−1)2+(y+2)2=20D. (x−1)2+(y+2)2=5
4.已知圆(x−1)2+y2=4上有四个点到直线y=x+b的距离等于1，则实数b的值不可能为( )
A. 1B. 0C. − 2D. − 3
5.若圆x2+y2−2x+4y+1=0被直线ax−2by−2=0(a>0,b>0)平分，则1a+4b的最小值为( )
A. 9+4 22B. 16C. 17D. 252
6.已知抛物线y2=8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC+BD的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.已知在△ABC中，顶点A(1,1)，点B在直线l：x−y+2=0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为( )
A. 5B. 2 5C. 4 5D. 5 52
8.已知底边BC长为2的等腰直角三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足DB：DC= 3：1，则△ABD面积的最大值是( )
A. 3+ 62B. 3− 62C. 3 2+2 32D. 3 2−2 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x25−t+y2t−1=1所表示的曲线为C，则( )
A. 曲线C可能是圆
B. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则10,b>0)，的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y= 3x，且F1到l的距离为3 3，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为∠F1PF2的平分线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的方程为x29−y227=1B. 双曲线C的离心率为2
C. |PF1|=3|PF2|D. 点P到x轴的距离为3 152
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2=4，过点P(1,1)的直线被圆C截得弦长最短时，直线的方程为______ ．
14.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率是 5，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2的值为______ ．
15.(本小题12分)
如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm.为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为______ cm．
16.(本小题12分)
过直线l：x−y+4=0上任意点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB过定点______ ；记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为______ ．
17.(本小题10分)
已知△ABC的三个顶点分别是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．
(1)求边BC的高所在的直线方程；
(2)求平分△ABC的面积且过点B的直线的方程．
18.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为2 55．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M(3,2)，求直线l的斜率．
19.(本小题12分)
已知点P(4,0)，圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且圆C与y轴切于点M(0,−2)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为2 2，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过(1,−2)，(14,1)，(−2,−2)三点中的两点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)已知F是抛物线Γ的焦点，P为抛物线Γ上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=3MF，求直线OM的斜率的最大值(O为坐标原点)．
21.(本小题12分)
一动圆与圆C1：x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆C2：x2+y2−6x−91=0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M与点F1的最大距离为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，若直线l与x轴、椭圆C顺次交于P，Q，R(点P在椭圆左顶点的左侧)，且∠PF1Q+∠PF1R=π，求△RQF1面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为直线l的方程为 3x+y−1=0，
即y=− 3x+1，
所以直线的斜率为k=− 3，
所以直线的倾斜角为2π3．
故选：C．
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．
本题考查直线倾斜角与斜率关系，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为椭圆x24+y29=1的焦点为(0, 5),(0,− 5)，
所以双曲线y22−x2m=1的焦点为(0, 5),(0,− 5)，
故2+m=5，解得m=3．
故选：B．
先求出椭圆的焦点，再根据两曲线的焦点重合，列方程可求出m的值．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：依题意，圆心坐标为AB中点，即(1,−2)，半径为12|AB|=12 (2−0)2+(0+4)2= 5，
所以圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=5．
故选：D．
根据给定条件，求出圆心坐标及半径得解．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：由圆的方程(x−1)2+y2=4，可得圆心为原点O(1,0)，半径为2，
若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y=x+b的距离d小于1，
又直线的一般方程为x−y+b=0，
所以|1−0+b| 1+10,b>0)上，故a+4b−2=0，即a+4b=2，
故1a+4b=(1a+4b)⋅12(a+4b)=12(1+16+4ba+4ab)≥12(17+2 4ab×4ba)=252，
当且仅当4ba=4ab，结合a+4b=2，即a=b=25时取等号，所以1a+4b的最小值为252．
故选：D．
由题意可得圆心(1,−2)在直线ax−2by−2=0(a>0,b>0)上，即得a+4b=2，将1a+4b化为1a+4b=(1a+4b)⋅12(a+4b)，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵抛物线的方程为y2=8x，
∴焦点F(2,0)，准线x=−2，
由抛物线的定义可知|AC|+|BD|=|AF|+|FB|−4=|AB|−4，
即当且仅当|AB|取得最小值，|AC|+|BD|取得最小值，
依据抛物线的定义可知当|AB|为通径时，即|AB|=2p=8时为最小值，
∴|AC|+|BD|的最小值为4．
故选：B．
直接有抛物线的定义和性质即可求解．
本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：如图示：
，
设A(1,1)点关于直线x−y+2=0的对称点为A′(a,b)，
则b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：a=−1b=3，
故A′(−1,3)，
点A关于x轴的对称点A″(1,−1)，
则|A′A″|= 4+16=2 5，
故A′A″的长即△ABC周长的最小值．
故选：B．
根据对称性结合图形求出三角形的最小值即可．
本题考查了对称性问题，考查转化思想，数形结合思想，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：以BC的中点O为原点，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)，设D(x,y)，
因为DB：DC= 3：1，所以 (x+1)2+y2 (x−1)2+y2= 3，
化简整理得：(x+1)2+y2=3(x−1)2+3y2，即(x−2)2+y2=3，
所以点D的轨迹为以(2,0)为圆心，以 3为半径的圆，
当点D与直线AB距离最大时，△ABD面积最大，
直线AB的方程为x−y+1=0，且|AB|= 2，
设圆心到直线的距离为d，
则点D到直线AB的最大距离为d+r=|2−0+1| 2+ 3=3 2+2 32，
所以△ABD面积的最大值为12× 2×3 2+2 32=3+ 62．
故选：A．
建系求出D点的轨迹方程，利用圆上动点到直线距离最值的求法求出三角形高的最大值即可得解．
本题考查动点的轨迹方程和三角形的面积公式，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对A选项，当5−t=t−1>0，即t=3时，曲线C是圆，∴A选项正确；
对B选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5−t>t−1>0，∴105−t≠t−1，∴1 22，
所以直线l：x−y+4=0与圆(x+12)2+(y−12)2=12相离，
所以点Q到直线的距离的最小值为|−12−12+4| 2− 22=3 22− 22= 2．
故答案为：(−1,1)； 2．
设P(x0,y0)，则可得以OP为直径的圆的方程为x(x−x0)+y(y−y0)=0，结合点P在直线上，也在圆上化简可得x0x+y0y=4，从而可得直线AB的方程，进而可求得直线过的定点，设Q(x,y)，则由MQ⋅OQ=0，可求出点Q的轨迹方程，从而可求出点Q到直线l的距离的最小值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得：直线BC的斜率kBC=3−70−6=23，
则边BC的高所在的直线的斜率k=−32，
所求直线方程为y−0=−32(x−4)，即3x+2y−12=0．
(2)由题意可知：所求直线即为边AC的中线所在的直线，
则线段AC的中点为D(2,32)，可得直线BD的斜率kBD=7−326−2=118，
所以直线BD的方程为y−32=118(x−2)，即11x−8y−10=0．
【解析】(1)先求直线BC的斜率，进而可得BC的高所在的直线的斜率，结合点斜式方程运算求解；
(2)由题意可知：所求直线即为边AC的中线所在的直线，结合点斜式方程运算求解．
本题考查直线的垂直关系，考查直线的一般方程，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为双曲线C的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且直线x+2y=0的斜率为−12，
因为双曲线C的渐近线为y=±bax，
所以−12⋅ba=−1，
解得ba=2，
则双曲线C的渐近线方程为y=±2x，
即2x±y=0，
因为右顶点(a,0)到该条渐近线的距离为2 55，
所以2a 5=2 55，
解得a=1，
可得b=2，
所以双曲线C的方程为x2−y24=1；
(2)若直线l⊥x轴，
此时A，B两点关于x轴对称，
可得线段AB的中点在x轴上，不符合题意；
若直线l与x轴不垂直，
不妨设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线l的斜率为k，
此时x12−y124=1x22−y224=1，
即(x12−x22)−y12−y224=0，
此时(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)4=0，
整理得y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=4．
因为线段AB的中点为M(3,2)，
所以x1+x2=6，y1+y2=4，
则46⋅k=4，
解得k=6，
故直线l的斜率为6．
【解析】(1)根据已知条件求出ba的值，利用点到直线的距离求出a的值，即可得出b的值，由此可得出双曲线C的方程；
(2)利用点差法可求得直线l的斜率．
本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)设圆心坐标为C(a,b)，
因为圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且圆C与y轴切于点M(0,−2)，
所以a−b−4=0b=−2，解得a=2b=−2，
所以C(2,−2)，半径r=|MC|=2，
所以圆C的方程为(x−2)2+(y+2)2=4；
(2)由题意得，圆心C(2,−2)到直线l的距离为 4−2= 2，
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x−4)，
则|k(2−4)+2| k2+1= 2，解得k=2+ 3或k=2− 3，
当直线l的斜率不存在，l的方程为x=4，
此时圆心C(2,−2)到直线l的距离为2，不满足题意，舍去，
综上，直线l的方程为y=(2+ 3)(x−4)或y=(2− 3)(x−4)．
【解析】(1)设圆心坐标为C(a,b)，则由题意列方程组可求出a，b，从而可求出圆的方程；
(2)先由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若抛物线Γ经过A(1,−2)、B(14,1)，则抛物线开口向右，
设抛物线Γ方程为y2=2px(p>0)，代入A点坐标，得(−2)2=2p×1，解得p=2，
故抛物线Γ方程为y2=4x，恰好经过点B(14,1)，符合题意；
若抛物线Γ经过A(1,−2)、C(−2,−2)，则抛物线开口向下，
设抛物线Γ方程为x2=−2py(p>0)，找不到p值，使A、C两点都满足该方程；
而B(14,1)在第一象限，C(−2,−2)在第三象限，不存在抛物线，使B、C两点都在抛物线上．
综上所述，抛物线Γ经过A(1,−2)、B(14,1)两点，方程为y2=4x．
(2)作出示意图，设点P(x0,y0)为抛物线Γ上任意一点，点M是线段PF上的点，且PM=3MF，

①若P点在第四象限，则直线OM的斜率为负数，不能达到最大值；
②若P点在第一象限，则F(1,0)，x0=y024，y0>0，
设M(s,t)，由OM=OF+FM=OF−14PF=OF−14(OF−OP)=14OP+34OF，得s=14x0+34×1=y0216+34t=14y0+34×0=14y0，
所以M的坐标为(y0216+34,14y0)，可得直线OM的斜率k=14y0y0216+34=y0y024+3≤y02 y024×3= 33，
当且仅当y024=3，即x0=3，y0=2 3时，直线OM的斜率有最大值 33．
综上所述，当抛物线Γ上的点P坐标为(3,2 3)时，直线OM的斜率有最大值 33．
【解析】(1)设A(1,−2)，B(14,1)，C(−2,−2)，在抛物线Γ经过A、B或B、C或A、C的情况下，分别讨论它的方程，进而判断出正确答案；
(2)设点P(x0,y0)、M(s,t)利用平面向量的线性运算法则与坐标运算公式，算出用x0、y0表示s、t的表达式，进而得到直线OM的斜率k的表达式，最后根据基本不等式算出答案．
本题主要考查抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)不妨设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，
易知圆C1：(x+3)2+y2=4，圆C2：(x−3)2+y2=100，
当动圆M与圆C1外切时，|C1M|=R+2；
当动圆M与圆C2内切时，|C2M|=10−R，
所以|C1M|+|C2M|=12>|C1C2|，
则点M的轨迹是焦点为C1(−3,0)，C2(3,0)，长轴长为12的椭圆，
不妨设该椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
此时2c=6，2a=12，
解得c=3，a=6，
则b2=36−9=27，
故动圆圆心轨迹方程为x236+y227=1；
(2)由(1)知F(3,0)，
不妨设P(x,y)，
此时|PO|2+|PF|2=x2+y2+(x−3)2+y2=2x2−6x+9+2y2，
因为点P在椭圆上，
所以x∈[−6,6]，y2=27−34x2，
此时|PO|2+|PF|2=12x2−6x+63=12(x−6)2+45，
易知当x=6时，|PO|2+|PF|2取得最小值，最小值为45．
【解析】(1)由题意，设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，得到|C1M|+|C2M|=12>|C1C2|，推出点M的轨迹是焦点为C1(−3,0)，C2(3,0)，长轴长为12的椭圆，进而可得曲线E的方程；
(2)设P(x,y)，此时|PO|2+|PF|2=2x2−6x+9+2y2=12x2−6x+63，结合x的取值范围和二次函数的性质再进行求解即可．
本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)因为椭圆C的离心率为12，
所以e=ca=12，
即a=2c，①
因为椭圆上动点M与点F1的最大距离为3，
所以a+c=3，②
又b= a2−c2，③
联立①②③，解得a=2，c=1，b= 3，
则椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)不妨设Q(x1,y1)，R(x2,y2)，
由(1)知F1(−1,0)，
因为∠PF1Q+∠PF1R=π，
所以kQF1+kRF1=0，
即y1x1+1+y2x2+1=0，
整理得x1y2+y2+x2y1+y1=0，
不妨设直线PQ的方程为x=my+n(m≠0)，
联立x=my+nx24+y23=1，消去x并整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2−12=0，
此时Δ=36m2n2−4(3m2+4)(3n2−12)>0，
解得n24，
不妨令 m2−4=t，t>0，
此时m2=t2+4，
所以 m2−43m2+4=t3(t2+4)+4=t3t2+16=13t+16t≤12 3t⋅16t=18 3，
当且仅当3t=16t时，等号成立，
此时m2=t2+4=283，直线l存在，
综上，△RQF1面积的最大值为18×18 3=3 34．
【解析】(1)由题意，利用离心率公式，椭圆的定义以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
(2)设出Q，R两点的坐标，根据∠PF1Q+∠PF1R=π，得到kQF1+kRF1=0，设出PQ的方程，将直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式、三角形面积公式以及基本不等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．