2023-2024学年辽宁省朝阳市高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省朝阳市高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知M={x|−10，b>0，a+b=1，则对一切满足条件的a，b恒成立的有(    )A. 0411.下列说法正确的是(    )A. 函数f(x+1)的定义域为[1,5]，则函数f(2x)的定义域为[1,3]B. 函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=4x，则f(2)=−6C. 已知函数f(x)=x+1ax2−2ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围为(0,1)D. 命题α：“x≠2或y≠3”是命题β：“x+y≠5”的必要不充分条件12.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2，且当x>0时，f(x)>−2，则(    )A. f(0)=−2B. f(x)+2为奇函数C. f(x)在R上是减函数D. 若f(1)=2，则不等式f(x2+x)+f(1−2x)>8的解集为{x|−13．18.(本小题12分)已知函数f(x)=x+1,x≤0x2−2x−3,x>0．(1)求f(f(1))；(2)当f(x)≤0时，求x的取值范围．19.(本小题12分)某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择：套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费；套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，则按照0.2元/分钟计算话费．(1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系．(2)如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算？20.(本小题12分)函数f(x)=ax+b1−x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．21.(本小题12分)已知函数f(x)=x2−ax−2a2，a∈R．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若f(x)在[−4,2]上的最小值为0，求a的值．22.(本小题12分)已知函数f(x)=x2−(a+6)x+6(a∈R)．(1)若∀x∈[1,4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；(2)已知g(x)=mx+7−3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：∵M={x|−12}，(∁RM)∩N=(−∞,−1]∪(2，4]．故选：B．进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义求解，即可得到本题的答案．本题考查了充分必要条件的定义与阅读理解能力，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a>0，b<0，c<0，则一次函数y=ax+b的图象经过一、三、四图象限，反比例函数y=cx象在二四象限．故选：A．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx图象分别位于所在的象限，即可求解．本题主要考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，属于基础题．4.【答案】D 【解析】解：因为x∈(12,1]，所以2x−1∈(0,1]，所以2x+12x−1=[(2x−1)+12x−1]+1≥2 (2x−1)⋅12x−1+1=3，当且仅当2x−1=12x−1，即x=1时取等号．故选：D．配凑后运用基本不等式求解即可．本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．5.【答案】D 【解析】解：f(x)=ax3+bx|x|+c则f(2)=8a+4b+c，f(−2)=−8a−4b+c，故f(2)+(−2)=2c，c∈Z，所以f(2)+f(−2)为偶数，综上所述，选项ABC符合题意，D错误．故选：D．依次求出f(2)，f(−2)，并求和，再结合选项中的值，即可求解．本题主要考查函数的值，属于基础题．6.【答案】A 【解析】【分析】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比较法在比较大小中的应用，属于中档题．设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v=2SSa+Sb=2aba+b及02 ab>0，∴2aba+b<2ab2 ab= ab，∵v−a=2ab(a+b)−a=2ab−a2−aba+b=a(b−a)a+b>0，∴v>a，综上可得，a01−a≥0，解得0−1，即关于x的方程x2−4mx+2m+6=0没有一个负根时，m>−1，所以x2−4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是m≤−1．故选：B．根据题意可先求得关于x的方程x2−4mx+2m+6=0没有一个负根时，m的取值范围，即可得出满足题意的m的范围．本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．9.【答案】AD 【解析】解：f(x)的定义域为R，g(x)定义域为R，即定义域一样，且f(x)=|x|=g(x)，即值域一样，故能表示同一个函数，故A选项符合题意；f(x)的定义域为R，g(x)定义域为x≠0，定义域不一样，故不能表示同一函数，故B选项不符合题意；f(x)定义域为[2,+∞)∪(−∞,−2]，g(x)定义域为[2,+∞)，二者定义域不一样，故不能表示同一函数，故C选项不符合题意；f(x)定义域为R，g(u)定义域为R，且对应法则一样，值域一样，故能表示同一函数，故D选项正确．故选：AD．根据定义域、值域和对应法则判断即可．本题主要考查了判断两个函数是否为同一个函数，属于基础题．10.【答案】AC 【解析】解：a>0，b>0，a+b=1，选项A，ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，则00，b>0，a+b=1，则可利用基本不等式得到ab的范围，再经过变形，判断各个选项．本题考查基本不等式，属于基础题．11.【答案】AD 【解析】解：对于A，因为函数f(x+1)的定义域为[1,5]，所以x+1∈[2,6]，所以函数f(2x)的定义域为2≤2x≤6，解得1≤x≤3，即f(2x)的定义域为[1,3]，所以A正确；对于B，因为函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=4x，所以在f(x)+2f(−x)=4x中分别令x=2、x=−2，可得f(2)+2f(−2)=8f(−2)+2f(2)=−8，解不等式组得f(2)=−8，f(−2)=8，所以B错误；对于C，由函数f(x)=x+1ax2−2ax+1的定义域为R，得∀x∈R，ax2−2ax+1≠0恒成立．当a=0时，1≠0恒成立满足题意；当a≠0时，Δ=4a2−4a<0，解得0x2，则x1−x2>0，所以f(x1−x2)>−2，又f(x1)=f[(x1−x2)+x2]=f(x1−x2)+f(x2)+2>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数，C错误；对于选项D，由f(1)=2，得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6，f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=10．由f(x2+x)+f(1−2x)>8得f(x2−x+1)>f(3)．因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2−x+1>3，解得x<−1或x>2．故原不等式的解集为{x|x<−1或x>2}，D错误．故选：AB．令x=y=0，得f(0)=−2，可求解选项A；利用奇函数的定义可求解选项B；利用函数单调性的定义可求解选项C；利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D．本题考查抽象函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】32 【解析】解：幂函数f(x)=(2m2−7m+7)xm为非奇非偶函数，∴2m2−7m+7=1m不是整数，解得m=32．故答案为：32．利用幂函数的定义和性质直接求解．本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[−1,2](答案不唯一) 【解析】解：令f(x)=x2+1=1，解得x=0；令f(x)=x2+1=5，解得x=±2；由二次函数的图像与性质可得，若要使函数f(x)=x2+1的值域是[1,5]，则它的定义域是可能是[−1,2]．故答案为：[−1,2](答案不唯一)．根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果．本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．15.【答案】4  (−∞,4]⋃[8,+∞) 【解析】解：因为f(x)=x2−(m+2)x+2的对称轴为x=m+22，开口向上，所以函数的单调递减区间为(−∞,m+22)，而f(x)=x2−(m+2)x+2的单调递减区间为(−∞,3)，所以m+22=3，解得m=4；当f(x)=x2−(m+2)x+2在(3,5)上是单调函数时，分单调递增和单调递减两种情况讨论，可得m+22≤3或m+22≥5，解得m≤4或m≥8，所以m的范围是(−∞,4]⋃[8,+∞)．故答案为：4；(−∞,4]⋃[8,+∞)．利用二次函数的单调性可得答案．本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．16.【答案】(1,−2) 【解析】【分析】本题考查函数的对称性问题，涉及函数的解析式以及变形，属于基础题．根据题意，设f(x)=x3−3x2的对称中心为点P(a,b)，由奇函数的性质可得f(−x+a)+f(x+a)−2b=0，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设f(x)=x3−3x2的对称中心为点P(a,b)则函数y=f(x+a)−b是奇函数，则有f(−x+a)−b=−f(x+a)+b，变形可得f(−x+a)+f(x+a)−2b=0，则有(−x+a)3−3(−x+a)2+(x+a)3−3(x+a)2=2b，即6a−1x2+2a3−6a2−2b=0对x∈R恒成立，所以a−1=02a3−6a2−2b=0必有a=1，b=−2；即函数的对称中心为(1,−2)．故答案为(1,−2)．17.【答案】解：(1)因为幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm在(0,+∞)上单调递减，则m2−2m−2=1m<0，解得m=−1，故f(x)=1x．(2)由(1)可知，f(x)+2=1x+2>3，即2x+1x>3，2x+1x−3=2x−3x+1x=1−xx>0，即x(x−1)<0，所以解集为(0,1)． 【解析】(1)由幂函数的性质和定义求解即可得出答案；(2)由分式不等式的解法求解即可．本题考查了幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为x>0时，f(x)=x2−2x−3，所以f(1)=−4；因为x≤0时，f(x)=x+1，所以f(−4)=−3；即f(f(1))=−3；(2)由f(x)≤0，得x≤0x+1≤0或x>0x2−2x−3≤0，解得x≤−1或00分别求解即可．本题考查了一次函数及二次函数的性质应用问题，以及不等式的求解问题，是基础题．19.【答案】解：(1)设通话时长为x(分)，设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系为y=f(x)，由题意知，y=f(x)=0.4x(x≥0)；设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系为y=g(x)，由题意知，y=g(x)=40,0≤x≤10040+(x−100)×0.2,x>100=40,0≤x≤1000.2x+20,x>100．(2)如果某用户用套餐一，当用户月通话时长为200分钟，他的话费为f(200)=0.4×200=80元；如果某用户用套餐二，当用户月通话时长为200分钟，他的话费为g(200)=0.2×200+20=60元，显然80>60，因此他选择套餐二会更划算． 【解析】(1)设通话时长为x(分)，套餐一、二对应的函数关系分别为y=f(x)，y=g(x)，再根据题意直接进行求解即可；(2)计算f(200)，g(200)的值，比较大小，取较小者即可．本题考查函数的实际应用，熟练掌握一次函数和分段函数模型是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，所以f(0)=b=0，此时f(x)=ax1+x2，又f(12)=25，所以f(12)=12a1+(12)2=25，解得a=1，所以f(x)=x1+x2．(2)证明：任取x1，x2∈(−1,1)，且x10,1−x1⋅x2>0，因为x10时，−a<2a，不等式f(x)<0的解集为(−a,2a)；当a<0时，−a>2a，不等式f(x)<0的解集为(2a,−a)．(2)因为f(x)=x2−ax−2a2，a∈R的对称轴为x=a2，当a2≤−4即a≤−8时，f(x)在[−4,2]上单调递增，此时f(x)min=f(−4)=16+4a−2a2=0，解得a=4或a=−2，又因为a≤−8，所以不存在这样的a；当−4≤a2≤2即−8≤a≤4时，f(x)在[−4,a2]上单调递减，在[a2,2]上单调递增，此时f(x)min=f(a2)=−9a24=0，解得a=0，此时满足−8≤a≤4，所以a=0成立；当a2≥2即a≥4时，f(x)在[−4,2]上单调递减，此时f(x)min=f(2)=4−2a−2a2=0，解得a=1或a=−2，又因为a≥4，所以不存在这样的a；综上：f(x)在[−4,2]上的最小值为0时，a=0． 【解析】(1)由题意可得f(x)=(x−2a)(x+a)，分类讨论a的取值范围即可得出对应的解集；(2)易知f(x)对称轴为x=a2，根据二次函数的性质，分类讨论，求出当a2≤−4、−4≤a2≤2、a2≥2时f(x)min的表达式，列方程，解之即可求解．本题考查一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意得，x2−ax−6x+6+a+8≥0对于∀x∈[1,4]恒成立，∴ax−a≤x2−6x+14，即a(x−1)≤x2−6x+14在x∈[1,4]恒成立．①当x=1时，0≤1−6+14=9，恒成立；②当x≠1时，此时x∈(1,4]，则a≤x2−6x+14x−1=(x−1)2−4(x−1)+9x−1=(x−1)+9x−1−4，在x∈(1,4]恒成立，∵(x−1)+9x−1−4≥2 (x−1)×9x−1−4=2，当且仅当(x−1)=9x−1，即x=4的时候取等号，∴a≤2，∴a的取值范围是{a|a≤2}；(2)当a=1时，f(x)=x2−7x+6，当x∈[1,4]时，f(x)=(x−72)2−254，则f(x)值域为[−254,0]，∵x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)，∴f(x)的值域为g(x)值域的子集．∵g(x)=mx+7−3m，∴①当m>0时，g(x)∈[7−2m,m+7]，则m>07−2m≤−254m+7≥0⇒m≥538；②当m<0时，g(x)∈[m+7,7−2m]，则m<0m+7≤−2547−2m≥0⇒m≤−534；③当m=0时，g(x)=7，不符合题意．综上所述，m的取值范围是{m|m≥538或m≤−534}. 【解析】(1)把恒成立问题通过参数分离转化为求最值问题；(2)把任意及存在问题转化为f(x)的值域为g(x)值域的子集，再根据集合间关系分类列不等式求解即可．此题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属于难题．