安徽省安庆市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷+

这是一份安徽省安庆市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷+，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，不是二次函数的是( )
A. y=1−2x2B. y=2(x−1)2+3
C. y=12(x+4)(x−3)D. y=(x−3)2−x2
2.下列命题中，是真命题的为( )
A. 锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C. 等腰三角形都相似D. 等边三角形都相似
3.抛物线y=−3(x−2)2+1的顶点坐标是( )
A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)
4.如果5a=6b，则下列结论不正确的是( )
A. a6=b5B. ab=1.2C. a+bb=115D. 5b=a6
5.抛物线y=−3(x+1)2−2经过平移得到抛物线y=−3x2，平移方法是( )
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
6.如图l1//l2//l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是( )
A. ABBC=DEEF
B. ABBO=DEEO
C. OBOC=OEOF
D. ADCF=AOAC
7.大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是( )
A. 5 5+5
B. 15−5 5
C. 5 5−5
D. 15+5 5
8.已知二次函数y=−x2+2x+m图象上的三点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y19.如图，直线m/​/n，AB⊥m，AB=2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m，n上两个动点(不与点A、B重合)，且满足PC⊥PD，设AC=x，BD=y，y与x的函数图象是( )
A.
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，若M1=1，M2=0，则M3的值是( )
A. 2B. 1或2C. 0D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是______ ．
12.若反比例数y=2k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______ ．
13.如图，一次函数y=x+2k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E，当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为______ ．
14.如图，在等边△ABC中，AB=6，点P为AC边上一动点，M为BP的中点，连接CM．
(1)当点P为AC的中点，CM的长为______ ；
(2)若点P移动到使∠PMC=60°时，CM的长为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知a：b：c=2：3：4，且a+3b−2c=15，求a+b−c的值．
16.(本小题8分)
已知函数y=kx2+x+1的图象与x轴只有一个交点，求出这个交点坐标．
17.(本小题8分)
如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？
18.(本小题8分)
平移抛物线y=12x2，使顶点坐标为(t,t2)，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．
19.(本小题10分)
如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
(1)求证：△AEB∽△CED；
(2)若AB=6，BC=9，AE=3，求CE长．
20.(本小题10分)
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
21.(本小题12分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,m)、B(−1,−6)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b−kx>0．
22.(本小题12分)
已知二次函数y=−x2+mx+m(m≠0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B点的左侧)，与y轴交点C，顶点为D．
(1)若A点在x轴负半轴上，且OA=OC，求该二次函数解析式；
(2)用含m的代数式表示顶点D的纵坐标，并求纵坐标的最小值；
(3)若−2≤m≤4，且当−1≤x≤2时，y的最大值为8，直接写出m的值______ ．
23.(本小题14分)
【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．
【尝试应用】
(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=5，BE=4，求AD的长．
【拓展提高】
(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF/​/AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=3，DF=8，求菱形ABCD的边长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、y=1−2x2，是二次函数，故A不符合题意；
B、y=2(x−1)2+3，是二次函数，故B不符合题意；
C、y=12(x+4)(x−3)=12(x2+x−12)=12x2+12x−6，是二次函数，故C不符合题意；
D、y=(x−3)2−x2=−6x+9，是一次函数，故D符合题意；
故选：D．
根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．
可根据相似三角形的判定方法进行解答．
【解答】
解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；
B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；
C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；
D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°)，所以它们都相似，故D选项正确；
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−3(x−2)2+1，
∴该函数图象的顶点坐标为(2,1)，
故选：A．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】D
【解析】解：∵5a=6b，
∴a6=b5，ab=65=1.2，5b=6a，
∵ab=65，
∴a+bb=5+65=115．
故选：D．
根据内项之积等于外项之积对A、、B、D进行判断；根据合比性质对C进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=−3(x+1)2−2的顶点坐标为(−1,−2)，
平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，
∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
故选：D．
由抛物线y=−3(x+1)2−2得到顶点坐标为(−1,−2)，而平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【解答】
解：A、∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF，故本选项错误；
B、∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBO=DEEO，故本选项错误；
C、∵l1/​/l2/​/l3，
∴OBOC=OEOF，故本选项错误；
D、∵l1/​/l2/​/l3，
∴ADCF=AOOC，故本选项正确；
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点，
∴AP= 5−12AB，
即AB=2 5−1×10=(5 5+5)cm．
故选：A．
由黄金分割知：AP= 5−12AB，由此可求得AB的长．
本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵y=−x2+2x+m=−(x−1)2+m+1，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=1，
∵4−1>1−(−1)>2−1，
∴y2>y1>y3，
故选：B．
由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值．
9.【答案】B
【解析】解：∵直线m/​/n，AB⊥m，PC⊥PD，
∴∠PAC=∠PBD=∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠BPD，
∴△ACP∽△BPD，
∴APAC=BDBP，
∵点P是AB中点，
∴AP=BP=12AB=1，
∴1x=y1，
∴y=1x，
故选：B．
先证得△ACP∽△BPD，得出APAC=BDBP，即可求得答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，中点定义，反比例函数图象等，本题难度较小，是一道基础题．
10.【答案】C
【解析】解：∵函数y1，y2的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个，
∴a2−4=0，b2−8<0，
即a2=4，
∵b2=ac，
∴c2=b4a2=b44，
而Δ=c2−16=b4−644=(b2+8)(b2−8)4，
∵b2+8>0，b2−8<0，
∴Δ=c2−16<0，
即y3的图象与x轴的交点个数为0，
∴M3=0；
故选：C．
由题意得a2−4=0，b2−8<0，再由b2=ac得c=b2a，代入Δ=c2−16即可确定判别式的符号，从而确定答案．
本题考查二次函数图象与x轴交点，正确记忆二次函数的相关知识是解题关键．
11.【答案】2 3
【解析】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
∵a=3，c=4，
∴b=2 3．
故答案为：2 3．
根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac，再代值计算即可得出答案．
本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解．
12.【答案】k<−12
【解析】解：∵反比例数y=2k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴2k+1<0，
解得：k<−12，
故答案为：k<−12．
根据反比例函数的性质及题意，可得2k+1<0，即可求得k的范围．
本题考查反比例函数的性质，熟练掌握函数性质是解答本题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：一次函数y=x+2k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，
令x=0，则y=2k，令y=0，则x=−2k，
∴点A、B的坐标分别为(−2k,0)、(0,2k)，
∴△OAB的面积=12OA⋅OB=2k2，
又∵矩形ODCE的面积为k，
∴2k2=k，
解得：k=0(舍去)或k=12，
故答案为：12．
根据反比例函数性质和一次函数性质解答即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，△OAB的面积=12OA⋅OB=2k2的计算是解题的关键．
14.【答案】3 72 3 2
【解析】解：(1)当P是中点时，PC=12AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BP⊥AC，BC=AB=AC=6，∠PBC=12∠ABC=30°，
∴PC=3，
由勾股定理得：PB= BC2−PC2=3 3；
∵M为BP的中点，
∴PM=12PB=3 32；
在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM= PM2+PC2=3 72；
故答案为：3 72；
(2)∵∠PMC=∠PCB=60°，∠BPC=∠CPM，
∴△CMP∽△BCP，
∴CMBC=CPBP，CPBP=PMCP，
∵PM=12PB，
∴由CPBP=PMCP得：CP2=12PB2，
即CP= 22PB，
∵CMBC=CPBP= 22，
∴CM= 22BC=3 2．
故答案为：3 2．
(1)利用等边三角形的性质及勾股定理即可求解；
(2)证明△CMP∽△BCP，利用对应边成比例即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
15.【答案】解：由题意设a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+3b−2c=15，
∴2k+9k−8k=15，
∴k=5，
∴a=10，b=15，c=20，
∴a+b−c
=10+15−20
=5．
【解析】设a=2k，b=3k，c=4k，代入a+3b−2c=15，即可求出k的值，进而得出a、b、c的值，再把它们的值代入所求式子计算即可．
本题考查了比例的性质的应用，利用“设k法”求解更简便．
16.【答案】解：①当k=0时，函数是一次函数；
令y=0，则x+1=0，
解得：x=−1，
即交点为(−1,0)，
②当k≠0时，函数是二次函数，
∵函数图象与x轴只有一个交点，
∴Δ=1−4k=0，
即k=14，
令y=0，则14x2+x+1=0，
解得：x1=x2=−2，
即交点为(−2,0)．
综上，函数与x轴的一个交点为(−1,0)或(−2,0)．
【解析】分k=0与k≠0两种情况考虑，对于k≠0时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标．
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．z正确记忆二次函数的性质是解题关键．
17.【答案】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴(ABAD)2=12，
∴ABAD= 22．
答：AB与AD的比值是 22．
【解析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出ABAD的值．
此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
18.【答案】解：∵平移抛物线y=12x2，使顶点坐标为(t,t2)，
∴平移后的解析式为y=12(x−t)2+t2，
∵平移后的抛物线经过点(2,4)，
∴4=12(2−t)2+t2，
解得t=2或−23，
∴平移后抛物线对应的函数表达式y=12(x−2)2+4或y=12(x+23)2+49．
【解析】根据题意得出平移后的解析式为y=12(x−t)2+t2，然后利用待定系数法即可求得t的值，从而求得平移后的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．根据题意得出平移后的解析式为y=12(x−t)2+t2是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE．
∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED；
(2)解：∵BC=9，BC=CD，
∴CD=9．
∵△CED∽△AEB，
∴CEAE=CDAB，即CE3=96，
∴CE=92．
【解析】(1)由角平分线及BC=CD，可得∠CDE=∠ABE，从而可得△AEB∽△CED；
(2)由△AEB∽△CED，得到对应边成比例，即可求得结果．
本题考查了角平分线、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
20.【答案】解：(1)设停止加热过程中对应的函数解析式为y=kx，
∵点(12,14)在该函数的图象上，
∴14=k12，得k=168，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y=168x，
当y=28时，28=168x，得x=6，当y=4时，4=168x，得x=42，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y=168x(6≤x≤42)，
设该材料加热过程中对应的函数解析式为y=ax+b，
∵点(0,4)、(6,28)在该函数的图象上，
∴b=46a+b=28，得a=4b=4，
∴该材料加热过程中对应的函数解析式为y=4x+4(0(2)将y=12代入y=4x+4中，12=4x+4，得x=2，
将y=12代入y=168x中，12=168x，得x=14，
14−2=12(分钟)，
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
【解析】(1)根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出x=12对应的y的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量x的取值范围；
(2)将y=12代入(1)中的两个函数解析式，即可得到相应的x的值，然后作差即可．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)把(−1,−6)代入y=kx中得−6=k−1，
解得k=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
把(2,m)代入y=6x中得m=3，
∴点A坐标为(2,3)，
把(−1,−6)，(2,3)代入y=ax+b得：
−6=−a+b3=2a+b，
解得：a=3b=−3，
∴一次函数解析式为y=3x−3；
(2)设直线AB与y轴交于点C，

把x=0代入y=3x−3得y=−3，
∴OC=3．
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×OC⋅|xB|+12×OC⋅xA=12×3×1+12×3×2=92．
(3)由ax+b−kx>0得ax+b>kx，
∵直线与双曲线交点为A(2,3)、B(−1,−6)，
∴−12时ax+b>kx．
【解析】(1)把点B坐标代入反比例函数求解析式，然后求出点A坐标，再将A，B坐标代入一次函数解析式求解．
(2)设直线AB与y轴交于点C，由S△AOB=S△BOC+S△AOC求解．
(3)由ax+b−kx>0得ax+b>kx，再根据图象交点横坐标求解．
本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及函数与不等式的关系．
22.【答案】4
【解析】解：(1)当x=0时，y=m，
∴C(0,m)；
∵OA=OC，
∴OA=OC=|m|，
①当m<0时，则x=m时，y=−m2+m2+m=m=0，
∴m=0，不符合题意，舍去；
②当m>0时，则当x=−m时，y=−m2−m2+m=0，
∴2m2−m=0，
∴m(2m−1)=0，
∴m=12，m=0(舍去)，
∴y=−x2+12x+12
(2)y=−x2+mx+m=−(x−m2)2+14m2+m，
∴抛物线顶点D的坐标为(m2,14m2+m)
∴点D的纵坐标为yD=14m2+m=14(m+2)2−1
∴当m=−2时，点D的纵坐标的最小值为−1；
(3)∵−2≤m≤4，
∴−1≤m2≤2，
∴当−1≤x≤2时，即当x=m2时有最大值14m2+m=8，
∴m2+4m−32=0，解得，m1=−8，m2=4，
∵−2≤m≤4，
∴m=4．
故答案为：4．
(1)求出抛物线与y轴的交点坐标，则OA=OC=|m|，分m为负、为正考虑即可；
(2)把二次函数配方，即可求得顶点坐标，再由二次函数的性质即可求得顶点纵坐标的最小值；
(3)由m的范围可确定抛物线对称轴的范围，根据自变量的范围知，函数在顶点处取得最大值，即可求得m．
本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴BFBC=BEBF，
∴BF2=BE⋅BC，
∴BC=BF2BE=254，
∴AD=254．
(3)如图3，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB/​/DC，∠BAC=12∠BAD，
∵AC/​/EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，
∵∠EDF=12∠BAD，
∴∠EDF=∠BAC，
∴∠EDF=∠G，
又∵∠DEF=∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴EDEG=EFDE，
∴DE2=EF⋅EG，
又∵EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2，
∴DE= 2EF，
又∵DGDF=DEEF，
∴DG= 2DF=8 2，
∴DC=DG−CG=8 2−3．
【解析】(1)证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的性质即可完成；
(2)证明△BFE∽△BCF，利用相似三角形的性质即可完成；
(3)分别延长EF，DC相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形AEGC为平行四边形，得AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G；再由已知易得△EDF∽△EGD，由相似三角形的性质即可求解．
本题属于相似形综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键．