江苏省射阳中学2023-2024学年高二上学期第二阶段测试（12月）数学试题

这是一份江苏省射阳中学2023-2024学年高二上学期第二阶段测试（12月）数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟；试卷总分：150分
命题： 校对与审核：
一、单选题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分）
1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不确定
2．四面体中，为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ）
A．20 B． C．10 D．
4．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
5．已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值 C． D．
7．已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知实数，那么大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆过坐标原点 B．圆的圆心为
C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6
10．已知双曲线的离心率为2，下列双曲线中与双曲线的渐近线相同的是（ ）
A． B． C． D．
11．在等差数列中，，下列结论正确的是（ ）
A．是定值 B．的前9项和为45
C．的最大值为24 D．若，则的最小值为
12．已知函数，则（ ）
A．时，函数在上单调递增
B．时，若有3个零点，则实数的取值范围是
C．若直线与曲线有3个不同的交点，且，则
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13．函数在处的切线方程为____________．
14．当直线被圆截得的弦长最短时，实数____________．
15．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗康以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群鶴早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，，则数列的前项和____________．
16．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是____________．
四、解答题（解答题要有必要的文字说明和推理过程）
17．（本题满分10分）
如图，正四面体（四个面都是正三角形）的棱长为1，是棱的中点，点满足，点满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
18．（本题满分12分）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）．
（1）将利润（元）表示为产量的函数；
（2）当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？
19．（本题满分12分）已知圆及点，动点在圆上运动，线段的中点为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与的轨迹交于两点，满足，求直线的方程．
20．（本题满分12分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（本题满分12分）已知椭圆，长轴长为4，离心率是．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．若，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．
22．（本题满分12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，直线与的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，且，证明：．
参考答案
一、单选题：
ACBD ADCC
二、多选题：
ACD BCD BD BD
三、填空题：
13． 14． 15． 16．
四、解答题：
17．解：（1）因为是棱的中点，点满足，点满足．
所以
．
（2）因为四面体是正四面体，则，
，
，
，
所以．
18．解：（1）由题意可知，
（2）因为，由，解得．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当时，取得最大值，且最大值为315万元．
答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元．
19．解：（1）设，由中点坐标公式可得：
解得：，由于点在圆上，所以：，
代入可得：
化简可得点的轨迹方程为：．
（2）当不存在时，直线的方程为．此时圆心到直线的距离为
所以：满足条件．
当存在时，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，
则，所以：
而到直线的距窝为，
解得：．此时直线方程为：．
综上：满足条件的直线的方程为：或
20．解：（1）由题意可知：
（2），
，故．
解：（1）由椭圆的长轴长为4，得，即，
由离心率是，得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为：，
由消去并整理得：
，
，即，设，
则，于是点，
直线的方程为，则点，
由，解得，
设点，则，
显然点的纱坐标同号，
由得，，
因此，解得，此时，直线过定点，
所以直线经过定点，该定点坐标为．
22．解：（1）的定义域为，
当时，在上单调递增．
当时，令解得，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
综上所述，时，增区间为；
时，减区间为，增区间为．
（2）当时，，
令，设，
则的两个零点分别为，
，当时，在上单调递增，没有2个零点．
当时，令解得，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以，
由于且在上有两个零点，所以①，且．
要证明，即证明，
由于，所以，
因为在上单调递增，即证，
因为，即证，
设
，
由①得，所以，
设
，因为，所以，
所以在上单调递减，，
所以时，，所以在上单调递增，
，所以当时，，
因为，所以，即，
所以．