人教版八年级数学上册 专题11.2 与三角形有关的角（测试）（原卷版+解析版）

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专题11.2 与三角形有关的角一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．三角形的内角和等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B．2．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（　　）A．75° B．60° C．45° D．40°【答案】C【解析】因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.3．给出下列结论：①任何三角形都有三条中线；②三角形的三条高相交于三角形内同一点；③三角形的内角和等于外角和；④三角形的三条角平分线交于三角形内同一点；⑤直角三角形只有一条高，其中错误的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：任意三角形都有三条中线，所以①正确，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部，所以②错误，三角形的内角和为三角形的外角和为 所以③错误，三角形的三条角平分线交于三角形内部的同一点，所以④正确，直角三角形同样有三条高，所以⑤错误．故选4．如图，在中，，，如果平分，那么的度数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解： 平分， 故选C．5．一把直尺和一块三角板ABC（含45°角）按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED＝25°，则∠BFA的大小为（　　）A．115° B．110° C．105° D．120°【答案】A【解析】解：∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+25°＝115°，∵DE∥AF，∴∠BFA＝∠FDE＝115°．故选：A．6．把一副三角板按如图叠放在一起，则的度数是　　A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．故选A．7．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．故选：B．8．已知△ABC的一个外角为70°，则△ABC一定是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形【答案】C【解析】∵△ABC的一个外角为70°，∴与它相邻的内角的度数为110°，∴该三角形一定是钝角三角形，故选：C．9．如图所示，∠的度数是（　 　）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解析】如图：∠1=30°+20°=40+∠，则∠=10°，故选：A.10．如图，已知直线,点分别在直线上，连结.点D是直线之间的一个动点，作交直线b于点C,连结.若，则下列选项中不可能取到的度数为( )A．60° B．80° C．150° D．170°【答案】A【解析】解：延长CD交直线a于E．∵a∥b，∴∠AED＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝70°，∴∠AED＝70°∵∠ADC＝∠AED＋∠DAE，∴∠ADC＞70°，故选：A．11．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为( )A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5【答案】C【解析】解：设三个外角分别为2x,3x,4x,三角形外角和为360°，所以2x＋3x＋4x＝360°，所以x＝40°，所以三个外角是80°，120°，160°，所以对应内角比为5：3：1，故选C．12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（ ）A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】A【解析】∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°-15°=75°．∵∠C=35°，∴∠CAD=75°-35°=40°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°．故选A．13．如图,中分别平分则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠A+2（∠DBC+∠DCB）=180°，∴∠A+2（180°-∠BDC）=180°，∴∠A=2∠BDC-180°，而∠BDC=120°，∴∠A=2×120°-180°=60°．故选：C.14．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在中，如果，根据三角形按角进行分类，这个三角形是______三角形．______度．【答案】直角三角形 ． 【解析】解：设三角分别是，，．则，解．所以三角分别是，，．故这个三角形是直角三角形，．故答案为：直角三角形，．16．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝_____．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．故答案为105°．17．将Rt△ABC和Rt△DEF如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，∠A=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=30°，∠CDF=20°，则∠BCE的度数为______.【答案】35°【解析】∵在Rt△DEF，∠E=30°，∴∠F=90°-∠E=60°，∵∠ACE是△DCF的一个外角，∴∠ECD=∠F+∠CDF=80°，又∠ACB=90°-∠B=45°，∴∠BCE=∠ECD-∠ACB=80°-45°=35°.18．如图所示，是的三个外角，且，则_____________________．【答案】【解析】∵，，是的三个外角∴∵∴∵∴∴故答案为：70三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．在△ABC中，求∠B的度数？【答案】22.5°．【解析】设，则，，，20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝165°，求∠B的度数.【答案】75°【解析】解：∵∠CDE=165，∴ ∠ADE=180-165=15，又∵ DEAB，∴∠A=∠ADE=15（两直线平行，内错角相等），∴ 在△ABC中，∠B=180-90-15=75．故∠B 的度数为75．21．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．求∠1的度数． 【答案】45°【解析】解：在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，又∵∠1+∠D=∠ABC，∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°.22．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【答案】24°．【解析】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=44°，∠DAE=15°，求∠C的度数．【答案】74°【解析】解: ∵AD是BC边上的高，∠DAE=15°，∴∠ADE=90°，∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°, ∠DAE=15°，∴∠AED=180°- ∠ADE-∠DAE=180°- 90°- 15°=75°，∵∠B+∠BAE=∠AED, ∠B=44°，∴∠BAE=∠AED-∠B=75°- 44°=31°，∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×31°= 62° ，∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=180°- ∠B - ∠BAC=180°- 44° - 62°=74°.故答案为：74°.24．一个零件如图所示（1）请说明∠BDC >∠A（2）按规定∠A等于90°，∠B和∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC等于148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）这个零件不合格，理由见解析．【解析】解：（1）如图，连接AD并延长，∴∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，∴∠BDC >∠A（2）如图，连接AD并延长，∴∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，∵∠BAC=90°，∠B=32°，∠C=21°，∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，=∠B+∠BAD+∠CAD+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=32°+90°+21°，=143°，∵143°≠148°，∴这个零件不合格．25．如图（1），点B、C、E在同一直线上．（1）求证：；（2）若，于点，于点，请直接写出图（2）中所有与互余的角．【答案】（1）见解析；（2）∠ABF、∠ACB、∠D、∠GEC【解析】解：（1）∵，∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE；（2）∵BF⊥AC，∴∠A+∠ABF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB+∠A=90°，∵∠A=∠DCE，∠DEC=90°，∴∠DCE+∠D=90°，即∠A+∠D=90°，∵GE⊥CD，∴∠GCE+∠GEC=90°，∴∠GEC+∠A=90°，故与∠A互余的角有：∠ABF、∠ACB、∠D、∠GEC.26．直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！（问题探究）（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．（变式拓展）（4）将图3变形为图4，已知∠BGF=160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ．【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；证明见解析；（4）．【解析】（1）如图1，∵∠2=∠C+∠E，∠1=∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠B+∠D=180°；故答案为：180°；（2）将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°．证明：如图2，∵∠ABE=∠C+∠E，∠DBC=∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC=180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°．证明：如图3，∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D=180°，∠DFG=∠B+∠E，∠FGD=∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°．（4）320°．如图4，根据三角形中，一个内角的补角等于其余两个内角的和，∴四边形FGBD中：∠FGB=∠B+∠D+∠F，四边形ACGE中：∠CGE=∠A+∠C+∠E，∵∠CGE=∠BGF=160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=320°，故答案为：320°．