初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形习题

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考点1：线段垂直平分线的性质与作图
典例：（2020·吉林农安初三一模）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、，将线段与直线对称，我们发现与完全重合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点.
求证：.
分析：图中的两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明（请写出完整的证明过程）
请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，定理应用.
（1）如图②，在中，直线、、分别是边、、的垂直平分线.
求证：直线、、交于点.
（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，，则的长为_______.

方法或规律点拨
本题考查垂直平分线的性质与证明，能够读懂题意给到的方法进行解题是本题关键
巩固练习
1．（2020·湖南湘西中考真题）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
2．（2020·云南昆明）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学初三一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·河北唐山初三一模）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路，，围成的一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到，两条公路的距离相等，且到，两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（ ）
A．画的平分线，再画线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画和的平分线，再画线段的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
C．画三个角，和三个角的平分线，交点即为所求
D．画，，三条线段的垂直平分线，交点即为所求
5．（2020·河南郑州外国语中学）在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
6．（2020·江苏徐州初三一模）已知：．求作：一点，使点到三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作的平分线；（2）作边的垂直平分线；（3）直线与射线交于．点即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作的平分线；（2）作的平分线；（3）射线与射线交于点．点即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）

A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对D．两人都不对
7．（2020·山东平阴初一期末）(1) 如图，作出△ABC 关于直线l的对称图形；
(2)现有两条高速公路和A、B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
8．（2022·金昌市金川总校第五中学初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，当BC＝5cm，AB＝13cm时，求△BCD的周长．
9．（2020·甘肃张掖初一期末）如图，两条公路相交，在A、B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等，请你找到一个这样的点．
考点2：等腰三角形与动态图形问题
典例：（2020·全国初三专题练习）已知是等边三角形，．
如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且，连接AE，BF交于点G，求的度数；
如图2，点M是BC延长线上一点，，MN交的外角平分线于点N，求的值；
如图3，过点A作于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边，连DQ，则DQ的最小值是______．
方法或规律点拨
本题考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）（问题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
（数学思考）（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
2．（2020·黑龙江双鸭山初三其他）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
3．（2020·山东商河初一期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是________；并说明理由；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；
（3)如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF＝DC．
4．（2020·河北河间初二期末）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）如图2，点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM（选一种方法即可）
5．（2020·山东济南初一期末）己知：为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且时，AD是的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时，等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
6．（2020·山东烟台中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
考点3：坐标系中的等腰三角形
典例：（2022·黑龙江尚志初二期中）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴正半轴上，且，满足等式．点从点出发，沿轴的正半轴运动，过点作轴的垂线，是垂线在第一象限内的一动点，且．
（1）求，的值；
（2）若点在线段上，当时，求点的坐标；
（3）若点在线段的延长线上，的垂直平分线交轴于点，并且恰好经过点，求此时的面积．
方法或规律点拨
本题考查了垂直平分线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·云南砚山初三一模）如图所示，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点B顺时针旋转，得到，把绕点C顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A．(4039，-1)
B．(4039，1)
C．(2020，-1)
D．(2020，1)
2．（2022·湖北房县初二期末）如图，点A的坐标为（8，0），点B为y轴负半轴上的一动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴与P点，当点B在y轴上移动时，则PB的长度是（ ）
A．2 B．4 C．不是已知数的定值 D．PB的长度随点 B的运动而变化
3．（2022·上海静安初一期末）如图，在直角坐标平面内有两点、，且、两点之间的距离等于（为大于0的已知数），在不计算的数值条件下，完成下列两题：
（1）以学过的知识用一句话说出的理由；
（2）在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，请写出点的坐标，并求的面积；如果不存在，请说明理由．
4．（2020·青岛市黄岛区第四中学初三月考）如图1，直线，AB平分，过点B作交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线AN方向运动，动点D以的速度运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．
试求的度数；
当点D在射线AM上运动时满足：：3，试求点D，E的运动时间t的值；
当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
5．（2022·哈尔滨市第四十九中学校初二月考）如图，，点关于轴的对称点为点，点在轴的负半轴上，的面积是．
（1）求点坐标；
（2）若动点从点出发，沿射线运动，速度为每秒个单位，设的运动时间为秒，的面积为，求与的关系式；
（3）在的条件下，同时点Q从D点出发沿轴正方向以每秒个单位速度匀速运动，若点在过点且平行于轴的直线上，当为以为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的值，并直接写出点的坐标．
6．（2020·湖北黄州初二期末）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
考点4：利用角平分线与平行线构成等腰三角形
典例：（2022·云南昆明三中初二期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．
（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．
（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）
方法或规律点拨
本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，本题具有一定的代表性，三个问题证明过程类似．
巩固练习
1．（2020·全国初三专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
2．（1）、动手操作：
如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么的度数为 .
（2）、观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）、实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大小.
3．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°.
(1)求∠1的度数；
(2)求证：△EFG是等腰三角形．
4．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．