湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．对任意实数，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件；其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
4．函数是
A．以为周期的偶函数B．以为周期的偶函数
C．以为周期的奇函数D．以为周期的奇函数
5．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．方程的根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： ）（ ）
A．2017年B．2018年C．2019年D．2020年
8．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．第三象限角大于第一象限角
C．若角为第三象限角，那么为第二象限角
D．若角与角的终边在一条直线上，则
10．下列说法中正确的是（ ）
A．B．16的4次方根是
C．D．
11．某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动：
（1）若原始费用不超过10元，则无优惠；
（2）若原始费用超过10元但不超过20元，给予减免2元的优惠；
（3）若原始费用超过20元但不超过50元，其中20元的部分按第（2）条给予优惠，超过20元的部分给予9折优惠；
（4）若原始费用超过50元，其中50元的部分按第（2）（3）条给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．
某人使用该网约车平台出行，则下列说法正确的是（ ）
A．若原始费用为12.8元，则优惠后的费用为10.8元
B．若优惠后的费用为27.9元，则原始费用为31元
C．若优惠后的费用为47.8元，则优惠额为5.9元
D．优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数
12．若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．已知，是第三象限角，则 .
14．若，，则的值为
15．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为 ．
16．若有意义，则实数x，y分别为 ， .
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合.
(1)若求.
(2)若,求实数的取值范围.
18．已知函数的图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求该函数的解析式；
(2)若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围．
19．已知函数
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并用单调性的定义证明
20．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．
(1)若，求的取值范围；
(2)若为两个整数根，为整数，且，求；
(3)若满足，且，求的取值范围．
21．改革开放四十多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔､气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地､气壮山河的奋斗赞歌.四十多年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设.某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知市财政下拨一项专款100百万元专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），.
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数关系式；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
22．已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域；
(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解作答.
【详解】解不等式得：，即，而，
所以.
故选：C
2．B
【分析】利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可
【详解】①“”“”,但当时,“”无法推出“”,则“”是“”的充分不必要条件,故①是假命题；
②“是无理数”“是无理数”,且“是无理数”“是无理数”,则“是无理数”是“是无理数”的充要条件,故②是真命题；
③当时,,即“”无法推出“”,且当时,,即“”无法推出“”,则“”是“”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；
④因为,所以“”是“”的必要条件,故④是真命题；
综上,真命题有2个,
故选:B
本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用
3．C
【分析】根据1°弧度可得结果.
【详解】解：根据1°弧度，
252°＝252弧度．
故选C．
本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题．
4．D
【详解】因为，所以周期，而由可得，是奇函数，即函数是以为周期的奇函数，故选D.
5．B
【解析】利用对数函数和指数函数的性质与中间量“0”，“4”比较大小即可
【详解】解：因为在上为增函数，，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
因为，
所以，，
所以，即，
所以，
故选：B
6．D
【解析】构造函数，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间.
【详解】构造函数，则该函数在上为增函数，
所以，函数至多只有一个零点，
，，，，
由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为.
故选：D.
本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
7．D
【解析】先设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，根据题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，
由题意可得，则，
即，
因为，
所以，故.
故选：D.
本题主要考查指数函数模型的应用，涉及对数的运算，属于基础题型.
8．D
【分析】画出图像,数形结合即可求解.
【详解】作函数的图像如下，
函数恰有两个零点可转化为与有两个不同的交点，
故.
故选:.
9．AD
【分析】根据象限角的范围可以判断ABC，根据终边相同的角的范围可判断D.
【详解】对于A，，，是第二象限角，故A正确；
对于B，是第三象限角，是第一象限角，但，故B错误；
对于C，是第三象限角，是第四象限角，故C错误；
对于D，若角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍，故D正确；
故选：AD
10．BD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】负数的3次方根是一个负数，，故A错误；
16的4次方根有两个，为，故B正确；
，故C错误；
是非负数，所以，故D正确．
故选：BD.
11．AB
【分析】根据题意得到优惠后的费用和原始费用的函数关系式，逐选项判断即可.
【详解】根据题意，设原始费用为元，优惠后的费用为元，
则，
即，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
对于A，若原始费用为12.8元，按第（2）条优惠，优惠后的费用为元，故A准确；
对于B，若优惠后的费用为27.9元，符合第（3）条优惠，则，
所以原始费用为31元，，故B正确；
对于C，若优惠后的费用为47.8元，符合第（4）条优惠，则，，
则优惠额为元，故C错误；
对于D，当时，，当时，，
例，当时，，当时，，所以原始费用和优惠后的费用不是增函数，故D错误，
故选：AB.
12．ACD
【分析】设，即可得到的单调性，再由，计算出、，即可判断.
【详解】设，则在上为增函数，
，
，
，，故B正确；
，
当时，，
此时，有；
当时，，此时，有，
所以A、C、D均错误．
故选：ACD．
13．
【分析】由已知先求，然后利用正切的二倍角公式即可得到结果.
【详解】由已知得，所以，
故答案为
本题考查同角三角函数的基本关系式和正切二倍角公式的应用，属于简单题.
14．12
【分析】把对数式化为指数式，由幂的运算法则计算．
【详解】由指对的互化关系，得，，则．
故答案为：12．
15．
【解析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值．
【详解】，则，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴值域为．
故答案为：．
16．
【分析】根据分数指数幂的定义，可知；由偶次根式被开方数大于等于零可求得，代入解析式可求得.
【详解】
，即
故答案为；
本题考查分数指数幂的定义、函数定义域的求解等知识；关键是能够熟练掌握分数指数幂的运算，将函数化为含偶次根式的形式.
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）先得到函数的定义域A，再根据集合关系求出参数值；（2）由知道B是A的子集，根据集合间的包含关系得到和两种情况.最终需要将两种情况并到一起.
【详解】（1）∵，∴，即，
若，则，∴．
（2）若，则，分情况讨论：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述，实数的取值范围是：．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数接近直线得到，得到函数解析式.
（2）设，将函数代入不等式得到，函数，根据函数的单调性结合定义域计算最大值即可.
【详解】（1）函数的图像过原点，则，
函数无限接近直线但又不与该直线相交，则，故，.
（2），即，设，，
则，即，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即
19．(1)奇函数；证明见解析；
(2)在上是单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据求得参数，结合奇偶性的定义，即可判断和证明；
（2）根据单调性的定义，即可判断和证明.
【详解】（1）因为，则，
又其定义域为，关于原点对称，且，
故为奇函数.
（2）在上是单调递增函数.
证明如下：
设任意的满足
∵，∴，∴，即.
∴在上是单调递增函数.
20．(1)且；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）利用韦达定理得，，代入条件得，，利用整数知识得或，分类求出；
（3）把韦达定理的结论代入得，代入可得的范围．
【详解】（1）由题意若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，
若方程有两个不等的实数解，
，且，
所以的范围是且；
（2）首先（否则方程没有两个实数根），
由题意，
，，
均为整数，∴或，
时，，又且，∴，
时，，又且，∴．
综上，或．
（3），方程为，，
则，又，∴，，
所以，∴．
21．（1），；（2）的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元）．
【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，则，进而可求得关于的函数解析式和定义域；
（2）由（1）可得，进而利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，则，
，．
（2）由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立．
此时．
所以的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元）．
22．（1），值域为（2）（3）
【详解】试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据，，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.
试题解析：（1）因为函数 的图象过点，
所以，即，所以 ，
所以，因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，
即函数与函数有交点，
令，则函数的图象与直线有交点，
又
任取，则，所以，所以，
所以 ，
所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减），
因为，所以，
所以实数的取值范围是.
（3）由题意知， ，
令，则，
当时， ，所以，
当时， ，所以（舍去），
综上，存在使得函数的最大值为0.