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四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析）
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这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程得到直线的斜率为，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】直线方程可整理为，所以直线的斜率为，倾斜角为.
故选：D.
2. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（ ）
A. B. 16C. 18D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为，
如图所示，设点其中，且
过点作，垂足为，
由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于，即，
所以，解得，即点的横坐标为.
故选：C.
3. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（ ）
A. 77B. 78C. 76D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】由第p百分位数计算公式可得答案.
【详解】因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即.
故选：A
4. 如图，平行六面体中，为中点．设，，，用基底表示向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.
【详解】.
故选：B
5. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得.
【详解】
对于A，如图，在长方体中，设平面平面，平面为平面，
平面为平面，显然满足，但是平面与平面不平行,故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若，则成立，故B正确；
对于C，若，则，又，所以，故C正确；
对于D，设直线的方向向量分别为，若，
则平面的一个法向量分别为，且，所以，故D正确.
故选A.
6. 直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.
【详解】直线：，即，且与轴交于点，
直线：，即，且与轴交于点，
对于A：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，不符合题意，故A错误；
对于B：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，符合题意，故B正确；
对于C：直线中，，直线中，，矛盾，故C错误；
对于D：直线中，，直线中，，矛盾，故D错误；
故选：B
7. 设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】曲线，其中，，即，，
曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆.
因为圆心到直线的距离，
故半圆上一点到直线的最小距离，
半圆上点到直线的距离最大，
则的取值范围为，
故选：B.
8. 已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案.
【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，当点位于短轴端点时，取最大值，
要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，
即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：A.
二、多选题（每题5分，多选，选错0分，选对部分2分，共20分）
9. 方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（ ）
A. 曲线可能为圆
B. 若曲线为双曲线，则或
C. 若曲线为椭圆，则
D. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的的系数特征列不等式求解判断.
【详解】当，即时，方程为，为圆，A正确
当，即或时，方程为双曲型，B正确；
当，即且时，方程为椭圆，C错误；
当，即时，方程为焦点在轴上的椭圆，D错误；
故选： AB.
10. 以下命题中正确的是（ ）
A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B. 若，则直线平面或平面
C. A，B，C三点不共线，对平面外任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A；根据空间共面向量定理判断BC；根据空间向量基底的定义判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不是平面的法向量，A错误；
对于B，由，得向量共面，即平面，
因此直线平面或平面，B正确；
对于C，由，得，因此四点共面，C正确；
对于D，由是空间的一个基底，得、、不共面，
若、、共面，则存在实数，使得，即有，
于是、、共面与、、不共面矛盾，因此、、不共面，
所以也是空间的一个基底，D正确.
故选：BCD
11. 已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 圆上存在两点和，使得
C. 圆上的点到直线的最大距离为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D.
【详解】A选项：圆：的标准方程为，
圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点，
所以圆到直线的距离为，即，解得，
所以的取值范围是，故A正确；
B选项：圆：的标准方程为，
圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为，
圆到直线AB的距离为，所以，
圆上任意两点，，，故B错误；
C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；
D选项：因为，所以为等边三角形，
圆到直线的距离为，所以，
故或，故D错误.
故选：AC
12. 如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若且，则的渐近线方程为
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据渐近线夹角范围得离心率范围判断A，利用三角形面积求得的坐标，代入双曲线方程即可求解渐近线判断B，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，先证，再结合条件得，从而得判断C，在上取一点使得，先证，再结合条件得，从而，判断D.
【详解】对于A，，两渐近线夹角小于，，
，A正确；
对于B，时，为等腰直角三角形，，
又点在双曲线上，代入双曲线方程得即，，
渐近线方程为，B错误；
对于C，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，，，.
，，又，.
又，为中点，，必有，，三点共线，
为角平分线，，C正确；
对于D，在上取一点使得，，，
，，又，，
，，D正确.
故选：ACD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为______；
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意找出甲获胜情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
14. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
则上述说法中正确的为______.
【答案】①④
【解析】
【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.
【详解】若表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：
，，
，，
，.
事件A的组合有，共4种；
事件B的组合有，，，共18种；
事件C组合有，共6种；
事件D的组合有，，，，，，共27种；
事件的组合有，故；
事件的组合有故；
综上，A与C互斥，B与D不对立，，，，，
所以，. A与D不相互独立、B与C相互独立.
故答案为：①④
15. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知直线l经过点，且与直线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果；
（2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为.
【小问1详解】
因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
化简可得．
即直线l的方程为
【小问2详解】
设圆C的方程为，则，
因为圆C与y轴相切，所以，
又圆心C到l的距离，所以，
即，
解得，．
故圆C的方程为．
18. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
【答案】（1），平均数为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数.
（2）求出抽取的6名观众中，区间内的人数，再利用列举法求出古典概率即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
【小问2详解】
由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
19. 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】19.
20 或．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出，再根据点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解.
【小问1详解】
由题知，，
由抛物线的定义知，，
，的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，设，，
直线的方程为，代入，整理得，
由题易知，，，
，
到直线的距离为，
，解得，
直线的方程为或．
20. 作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打个球甲赢的概率；
（2）求该局打个球结束的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
【小问1详解】
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
【小问2详解】
设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
21. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若为上的一点，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由、可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论；
（2）以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用点到平面距离的向量求法可求得的值，根据二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
证明：在梯形中，取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，；
，，平面，平面，
平面，平面平面.
【小问2详解】
解：分别取中点，连接，
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为中点，，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，
设，
则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
依题意，得又，解得
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，
因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程得到直线的斜率为，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】直线方程可整理为，所以直线的斜率为，倾斜角为.
故选：D.
2. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（ ）
A. B. 16C. 18D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为，
如图所示，设点其中，且
过点作，垂足为，
由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于，即，
所以，解得，即点的横坐标为.
故选：C.
3. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（ ）
A. 77B. 78C. 76D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】由第p百分位数计算公式可得答案.
【详解】因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即.
故选：A
4. 如图，平行六面体中，为中点．设，，，用基底表示向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.
【详解】.
故选：B
5. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得.
【详解】
对于A，如图，在长方体中，设平面平面，平面为平面，
平面为平面，显然满足，但是平面与平面不平行,故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若，则成立，故B正确；
对于C，若，则，又，所以，故C正确；
对于D，设直线的方向向量分别为，若，
则平面的一个法向量分别为，且，所以，故D正确.
故选A.
6. 直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.
【详解】直线：，即，且与轴交于点，
直线：，即，且与轴交于点，
对于A：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，不符合题意，故A错误；
对于B：直线中，，直线中，，且，
则，所以的倾斜角大于的倾斜角，符合题意，故B正确；
对于C：直线中，，直线中，，矛盾，故C错误；
对于D：直线中，，直线中，，矛盾，故D错误；
故选：B
7. 设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】曲线，其中，，即，，
曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆.
因为圆心到直线的距离，
故半圆上一点到直线的最小距离，
半圆上点到直线的距离最大，
则的取值范围为，
故选：B.
8. 已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案.
【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，当点位于短轴端点时，取最大值，
要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，
即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：A.
二、多选题（每题5分，多选，选错0分，选对部分2分，共20分）
9. 方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（ ）
A. 曲线可能为圆
B. 若曲线为双曲线，则或
C. 若曲线为椭圆，则
D. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的的系数特征列不等式求解判断.
【详解】当，即时，方程为，为圆，A正确
当，即或时，方程为双曲型，B正确；
当，即且时，方程为椭圆，C错误；
当，即时，方程为焦点在轴上的椭圆，D错误；
故选： AB.
10. 以下命题中正确的是（ ）
A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B. 若，则直线平面或平面
C. A，B，C三点不共线，对平面外任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A；根据空间共面向量定理判断BC；根据空间向量基底的定义判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不是平面的法向量，A错误；
对于B，由，得向量共面，即平面，
因此直线平面或平面，B正确；
对于C，由，得，因此四点共面，C正确；
对于D，由是空间的一个基底，得、、不共面，
若、、共面，则存在实数，使得，即有，
于是、、共面与、、不共面矛盾，因此、、不共面，
所以也是空间的一个基底，D正确.
故选：BCD
11. 已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 圆上存在两点和，使得
C. 圆上的点到直线的最大距离为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D.
【详解】A选项：圆：的标准方程为，
圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点，
所以圆到直线的距离为，即，解得，
所以的取值范围是，故A正确；
B选项：圆：的标准方程为，
圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为，
圆到直线AB的距离为，所以，
圆上任意两点，，，故B错误；
C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；
D选项：因为，所以为等边三角形，
圆到直线的距离为，所以，
故或，故D错误.
故选：AC
12. 如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若且，则的渐近线方程为
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据渐近线夹角范围得离心率范围判断A，利用三角形面积求得的坐标，代入双曲线方程即可求解渐近线判断B，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，先证，再结合条件得，从而得判断C，在上取一点使得，先证，再结合条件得，从而，判断D.
【详解】对于A，，两渐近线夹角小于，，
，A正确；
对于B，时，为等腰直角三角形，，
又点在双曲线上，代入双曲线方程得即，，
渐近线方程为，B错误；
对于C，在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，，，.
，，又，.
又，为中点，，必有，，三点共线，
为角平分线，，C正确；
对于D，在上取一点使得，，，
，，又，，
，，D正确.
故选：ACD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为______；
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意找出甲获胜情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
14. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
则上述说法中正确的为______.
【答案】①④
【解析】
【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.
【详解】若表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：
，，
，，
，.
事件A的组合有，共4种；
事件B的组合有，，，共18种；
事件C组合有，共6种；
事件D的组合有，，，，，，共27种；
事件的组合有，故；
事件的组合有故；
综上，A与C互斥，B与D不对立，，，，，
所以，. A与D不相互独立、B与C相互独立.
故答案为：①④
15. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17. 已知直线l经过点，且与直线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果；
（2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为.
【小问1详解】
因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
化简可得．
即直线l的方程为
【小问2详解】
设圆C的方程为，则，
因为圆C与y轴相切，所以，
又圆心C到l的距离，所以，
即，
解得，．
故圆C的方程为．
18. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
【答案】（1），平均数为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数.
（2）求出抽取的6名观众中，区间内的人数，再利用列举法求出古典概率即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
【小问2详解】
由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
19. 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】19.
20 或．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出，再根据点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解.
【小问1详解】
由题知，，
由抛物线的定义知，，
，的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，设，，
直线的方程为，代入，整理得，
由题易知，，，
，
到直线的距离为，
，解得，
直线的方程为或．
20. 作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打个球甲赢的概率；
（2）求该局打个球结束的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
【小问1详解】
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
【小问2详解】
设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
21. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若为上的一点，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由、可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论；
（2）以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用点到平面距离的向量求法可求得的值，根据二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
证明：在梯形中，取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，；
，，平面，平面，
平面，平面平面.
【小问2详解】
解：分别取中点，连接，
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为中点，，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，
设，
则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
依题意，得又，解得
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，
因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
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